Algul defineerime esimest j¨ arku determinandi, siis esimest j¨arku determinandi abil teist j¨ arku determinandi, seej¨arel teist j¨arku determinandi abil kolmandat j¨ arku detereminandi jne, n-j¨arku determinandi defineerime (n - 1)-j¨arku determinandi kaudu. Sel- list defineerimisviisi nimetatakse induktiivseks ja vastavat objekti induktiivseks konstruktsiooniks. Eelnevalt on soovitatav tutvuda maatriksi m~oistega (II.1.1). Kooloniga v~ordus A := B t¨ahendab j¨argnevas, et A on defineeri- tud B kaudu. Seda v~ordust kasutame ka samav¨ a¨arsete t¨ ahistuste sissetoomiseks. 1.2 Esimest j¨ arku determinant Arvu a R determinandi |a| ehk esimest j¨ arku determinandi de- fineerime valemiga |a| := det a := a. 1.3 N¨ aide | - 5| = -5, || = jne. 1.4 Teist j¨ arku determinant Olgu a11 , a12 , a21 , a22 R
muutuvad s¨ailitades siiski teatud s¨ unkroonsuse ning m¨argi t¨ahendustel eksisteerib teatud ajaline invariantsus, s.t. p~ohim~otteliselt peaks olema v~oimalik m~oista ka aastatuhandete tagust m¨argikeelt. Peale m¨arkidest s~oltumatult toimiva v¨alise s¨ unkroniseeriva mehhanismi (s.t. normeerimine nt. keelereformide ja s~onaraamatutega) eksisteerib kanjil ka oma sisemine s¨ unkroniseeriv mehhanism, mille k¨asitluse juurde j¨argnevas tuleksingi. 1.2 M¨arkide mikrostruktuur, kuus klassi Mikrostruktuuri all m~oistan m¨argi sisemist ehitust, m¨argi deduktiivset struktuuri. Mikrostruktuur on s~oltumatu m¨argi kujust, selle invariantsus tagabki eri m¨argikujude u ¨htsuse. Kanji m¨arkide vormi~opetuslik jaotus kuude liiki p¨arineb algselt , k¨aesolevas t¨o¨os kasutatu p~ohineb Shirakawa [ 94, lk.6] toodul.
Determinandi arvutamine definitsiooni abil on u ¨sna t¨ ulikas, sest maatriksi j¨argu kasvades kasvab valemis (3.1) j¨arsult liidetavate arv. N¨aiteks neljan- dat, viiendat ja kuuendat j¨arku maatriksite korral on determinandi avaldises teoreemi 2.1 kohaselt vastavalt 24, 120 ja 720 liidetavat. Muuseas teoreemi 2.3 kohaselt on valemis (3.1) pooled liidetavad plussm¨argiga ja pooled mii- nusm¨argiga. J¨argnevas uurime determinantide omadusi. 1 Maatriksi ja transponeeritud maatriksi determinandid on v~ ordsed, s.o. X M at(n, n) = |X| = |X |. T~oestus. Valemi (1.8) kohaselt transponeeritud maatriksi X = (yij ) ja maatriksi X = (xij ) u ¨ldelementide korral yij = xji . Determinanti defineeriva valemi (3.1) kohaselt n¨ uu¨d saame |X | = (-1)I(1 ,2 ,...,n ) y11 y22 . . . ynn =
Determinandi arvutamine definitsiooni abil on u ¨sna t¨ ulikas, sest maatriksi j¨argu kasvades kasvab valemis (3.1) j¨arsult liidetavate arv. N¨aiteks neljan- dat, viiendat ja kuuendat j¨arku maatriksite korral on determinandi avaldises teoreemi 2.1 kohaselt vastavalt 24, 120 ja 720 liidetavat. Muuseas teoreemi 2.3 kohaselt on valemis (3.1) pooled liidetavad plussm¨argiga ja pooled mii- nusm¨argiga. J¨argnevas uurime determinantide omadusi. 1◦ Maatriksi ja transponeeritud maatriksi determinandid on v˜ ordsed, s.o. X ∈ M at(n, n) =⇒ |X| = |X |. T˜oestus. Valemi (1.8) kohaselt transponeeritud maatriksi X = (yij ) ja maatriksi X = (xij ) u ¨ldelementide korral yij = xji . Determinanti defineeriva valemi (3.1) kohaselt n¨ uu¨d saame |X | = (−1)I(α1 ,α2 ,...,αn ) y1α1 y2α2 . .
y = f (x) ∈ Y . Siis (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(y) = z. Valime punkti z mis tahes u ¨mbruse W . Kujutuse g pidevuse t˜ottu punktis y leidub punkti y selline u ¨mbrus V , et g(V ) ⊂ W . Kujutuse f pidevuse t˜ottu punktis x leidub punkti x selline ¨mbrus U , et f (U ) ⊂ V . Siis (g ◦ f )(U ) = g(f (U )) ⊂ g(V ) ⊂ u W , st g ◦ f on pidev punktis x. 20 J¨areldub vahetult teoreemi esimese v¨aite t˜oestusest ja pidevuse definitsioonist. J¨argnevas teoreemis esitatakse pidevusega samav¨a¨arsed n˜ouded. Teoreem 4.17 Kujutuse f : X −→ Y jaoks on j¨ argmised v¨aited samav¨a¨arsed: 10 f on pidev; aielik originaal f −1 (B) = 20 ruumi Y iga lahtise alamhulga B t¨ { x ∈ A | f (x) ∈ B} on lahtine; 0 3 ruumi Y iga kinnise alamhulga t¨aielik originaal on kinnine; 4.1 Pidev kujutus 37
Esimene - funktsioon, piirv¨aa¨rtus, pidevus (punktid 1 - 14) - 12. oktoobril 18.00 v~oi 10. oktoobril 14.00. Teine - funktsiooni tuletis, tuletise rakendusi (punktid 15 - 38) - 23. novembril 18.00 v~oi 28. novembril kell 14.00. Kolmas - m¨a¨aramata ja m¨a¨aratud integraal (punktid 39 - 58) - 21. detsembril kell 18.00. Kollokviumid on kirjalikud ja ei sisalda u ¨lesandeid vaid ainult teooriat. Vajaduse korral toimub kollokviumile j¨argnevas konsultasioonis t¨o¨o kaitsmine. Kui kollokvium on kirjutatud v¨ahemalt kuuele punktile ja u ¨li~opilane on tulemusega rahul, siis vastavaid teemasid eksamil ei ole. Konsultatsioonid toimuvad kolmap¨aeviti 14.00 (kuni kaheksanda n¨adalani ainult paa- risn¨adalatel) ja reedeti 18.00. 4 1 Funktsioon, piirv¨ a¨ artus, pidevus 1.1 Funktsioon 1
R(sin x, cos x) = 1+sin1x cos x . Teatud juhtudel on v~oimalik integraali R(f1 (x), . . . , fn (x))dx sobiva asendusega u = (x) taandada ratsionaalfunktsiooni integraalile, st integraalile kujul R1 (u)du, kus R1 (u) on ratsionaalfunktsioon argumendiga u. Viimase avaldamiseks saab kasutada eelmises alamparagrahvis kirjeldatud eeskirja. Allj¨argnevas loetelus on toodud m~oned taolised integraalid koos asendustega, mis viivad nad ratsionaalfunktsioonide inegraalidele. R (ex ) dx , u = ex ( ) R sin2 x, cos x sin xdx , u = cos x ( ) R sin x, cos2 x cos xdx , u = sin x
1 R(sin x, cos x) = 1+sin x cos x . Teatud juhtudel on v~oimalik integraali R(f1 (x), . . . , fn (x))dx sobiva asendusega u = (x) taandada ratsionaalfunktsiooni integraalile, st integraalile kujul R1 (u)du, kus R1 (u) on ratsionaalfunktsioon argumendiga u. Viimase avaldamiseks saab kasutada eelmises alamparagrahvis kirjeldatud eeskirja. Allj¨argnevas loetelus on toodud m~oned taolised integraalid koos asendustega, mis viivad nad ratsionaalfunktsioonide inegraalidele. R (ex ) dx , u = ex R sin2 x, cos x sin xdx , u = cos x R sin x, cos2 x cos xdx , u = sin x 2u
annaabi.ee 
