F'(c) = f(b) - f(a)/ g(b) - g(a)*g'(c). Jagades suurusega g'(c), mis eelduse t~ottu erineb nullist, saame valemi. Teoreem on t~oestatud. Sõnastada ja tõestada Lagrange'i teoreem. Kui funktsioon f on l~oigul [a,b] pidev ja vahemikus (a,b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et f(b) - f(a) = f'(c)(b - a). T~oestus. Lagrange'i teoreem on Cauchy teoreemi erijuht. T~oepoolest, v~ottes Cauchy teoreemis g(x) = x saame g(b) = b, g(a) = a, g'(c) = 1 ja j¨areldubki (3.26). Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu. Lagrange'i teoreem v¨aidab, et sileda joone l~oikaja saab paralleellu¨kkega viia selle joone puutujaks. 26. Sõnastada ja tõestada l'Hospitali reegel 0/ 0 tüüpi määramatuse korral. Olgu funktsioonid f ja g diferentseeruvad punkti a mingis u¨mbruses, kusjuures g'(x) 0 iga x korral sellest u¨mbrusest. Peale selle, olgu f(a) = g(a) = 0. Kui eksisteerib piirv¨a¨artus lim xa f'(x) /g'(x), siis eksisteerib ka piirv¨aa¨rtus lim xa
T~oestus. Vahetades integraalis rajad, saame omadus 5 p~ohjal a a f (x)dx = - f (x)dx a a ehk a 2 f (x)dx = 0, a millest j¨areldubki v¨aide. Omadus 6 (M¨ a¨ aratud integraali l~ oigul aditiivsuse omadus). b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c T~oestus. Oletame esiteks, et c asub l~oigul [a; b], st a < c < b
1 homogeenne (y1 = · · · = yk = 0) ning olgu tundmatute arv suurem v~orrandite arvust, s.t n > k. Olgu r sellise s¨ usteemi maatriksi astak. Ilmselt r k, r n ning v.t.a. = n - r = (n - k) + (k - r) >0 Seega on teoreemi eeldustel LVS-i u¨ldlahendis v¨ ahemalt u ¨ks vaba tundmatu. Siit j¨areldubki, et antud juhul leidub LVS-il mittetri- viaalseid lahendeid. 7 Gaussi meetod N¨ uu¨d selgitame LVS-ide lahendamist elementaarteisendustega, mi- da kirjanduses tuntakse ka Gaussi 3 meetodi nime all. 7.1 LVS-ide ekvivalentsus ¨ Oeldakse, et LVS-id on ekvivalentsed ehk samav¨a¨ arsed, kui neil on u ¨hesugused lahendihulgad, s.t esimese LVS-i iga lahend on teise LVS-i lahendiks ja vastupidi, teise LVS-i iga lahend on esimese
6 (Lagrange'i teoreem). Kui funktsioon f on l~ oigul [a, b] pidev ja vahemikus (a, b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a, b) v¨ ahemalt u ¨ks punkt c nii, et f (b) - f (a) = f (c)(b - a) . (3.26) T~oestus. Lagrange'i teoreem on Cauchy teoreemi erijuht. T~oepoolest, v~ottes Cauchy teoreemis g(x) = x saame g(b) = b, g(a) = a, g (c) = 1 ja valemist (3.24) j¨areldubki (3.26). Lagrange'i teoreemi geomeetrilist sisu vaatleme jooniselt 3.8. Punktidest A = (a, f (a)) ja B = (b, f (b)) l¨abi t~ommatud l~oikaja t t~ous v~ordub suhtega f (b) - f (a) . b-a Viime paralleell¨ukkega sirge t uude asendisse nii, et saadud uus sirge t oleks joone y = f (x) puutuja. T¨ahistame puutepunkti x-koordinaadi c-ga. Kuna
6 (Lagrange'i teoreem). Kui funktsioon f on l~ oigul [a, b] pidev ja vahemikus (a, b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a, b) v¨ ahemalt u ¨ks punkt c nii, et f (b) - f (a) = f (c)(b - a) . (3.26) T~oestus. Lagrange'i teoreem on Cauchy teoreemi erijuht. T~oepoolest, v~ottes Cauchy teoreemis g(x) = x saame g(b) = b, g(a) = a, g (c) = 1 ja valemist (3.24) j¨areldubki (3.26). Lagrange'i teoreemi geomeetrilist sisu vaatleme jooniselt 3.8. Punktidest A = (a, f (a)) ja B = (b, f (b)) l¨abi t~ommatud l~oikaja t t~ous v~ordub suhtega f (b) - f (a) . b-a Viime paralleell¨ukkega sirge t uude asendisse nii, et saadud uus sirge t oleks joone y = f (x) puutuja. T¨ahistame puutepunkti x-koordinaadi c-ga. Kuna
52 5 KONSTRUKTSIOONID ... kus n n n a = a2i , b = −2 ai b i , c = b2i . i=1 i=1 i=1 See on ruutkolmliige, mis rahuldab v˜orratust f (t) ≥ 0 iga t ∈ R korral. See on v˜oimalik vaid siis, kui tema diskriminant on mittepositiivne, st b2 − 4ac ≤ 0 ehk b2 ≤ 4ac. Siit j¨areldubki p¨arast a, b ja c v¨a¨artuste asendamist ja arvuga 4 taandamist v˜orratus (5.4). Teoreem 5.21 Kui topoloogiliste ruumide (X1 , T1 ), . . . , (Xn , Tn ) topoloogiad on tekitatud meetrikatega d1 , . . . , dn , siis nende ruumide otsekorrutise X = X1 × · · · × Xn topoloogia T on tekitatud meetrikaga d, kus n d(x, y) = (di (xi , yi ))2 ; (5.5) i=1
T~oestus. Vahetades integraalis rajad, saame omadus 5 p~ohjal a a f (x)dx = - f (x)dx a a ehk a 2 f (x)dx = 0, a millest j¨areldubki v¨aide. Omadus 6 (M¨ a¨ aratud integraali l~ oigul aditiivsuse omadus). b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c T~oestus. Oletame esiteks, et c asub l~oigul [a; b], st a < c < b
annaabi.ee 
