Kasutades juba tuletatud valemeid (3.32) ja (3.33) arvutame: d3y(x) = d[d2y(x)] = d[f''(x)dx2] = d[f''(x)]dx2 = [f''(x)]'dxdx2 = f'''(x)dx3 . J¨arelikult d3y(x) = f'''(x)dx3 . 28. Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem). Pn(a) = f(a), P' n(a) = f'(a), ... , P(n) n (a) = f(n)(a) Otsime meid huvitavat polu¨noomi j¨argmisel kujul: Pn(x) = C0 + C1(x - a) + C2(x - a)2 + C3(x - a)3 +C4(x - a)4 + ... + Cn(x - a)n kus C0,C1,...,Cn on konstantsed kordajad. Nende kordajate m¨a¨aramiseks arvutame k~oigepealt Pn tuletised kuni j¨arguni n: P' n(x) = 1C1 + 2C2(x - a) + 3C3(x - a)2 + 4C4(x - a)3 +... + nCn(x - a)n-1 , P'' n(x) = 2 · 1C2 + 3 · 2C3(x - a) + 4 · 3C4(x - a)2 +... + n(n - 1)Cn(x - a)n-2 P''' n (x) = 3 · 2 · 1C3 + 4 · 3 · 2C4(x - a) +... + n(n - 1)(n - 2)Cn(x - a)n-3 , · · · P(n) n (x) = n(n - 1)(n - 2) · ... · 2 · 1Cn . Pannes neis avaldistes ja valemis muutuja x v~orduma a-ga saame Pn(a) = C0 , P' n(a) = 1!C1 , P'' n(a) = 2!C2 , P''' n (a) = 3!C3 , ..
1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 Punkti asukoha m¨ a¨ aramiseks tasandil on lisaks ristkoordinaatidele teisi v~oimalusi. Vaatleme j¨ argnevalt polaarkoordinaate. Polaarkoordinaadistik on m¨a¨aratud punktiga O, mida nimetatakse pooluseks, sellest v¨aljuva kiirega, mida nimetatakse polaarteljeks, 20 ja pikkus¨ uhikuga. J¨argnevalt on polaarkoordinaadistiku pooluseks valitud ristkoordi- naadistiku alguspunkt ja polaarteljeks x-telg (x, y)
kokku funktsiooniga f , st rahuldab tingimusi Pn (a) = f (a) , Pn (a) = f (a) , . . . , Pn(n) (a) = f (n) (a) . (3.34) Otsime meid huvitavat pol¨ unoomi j¨argmisel kujul: Pn (x) = C0 + C1 (x - a) + C2 (x - a)2 + C3 (x - a)3 +C4 (x - a)4 + . . . + Cn (x - a)n , (3.35) kus C0 , C1 , . . . , Cn on konstantsed kordajad. Nende kordajate m¨a¨aramiseks arvutame k~oigepealt Pn tuletised kuni j¨arguni n: Pn (x) = 1C1 + 2C2 (x - a) + 3C3 (x - a)2 + 4C4 (x - a)3 + . . . + nCn (x - a)n-1 , Pn (x) = 2 · 1C2 + 3 · 2C3 (x - a) + 4 · 3C4 (x - a)2 + . . . + n(n - 1)Cn (x - a)n-2 , Pn (x) = 3 · 2 · 1C3 + 4 · 3 · 2C4 (x - a) + . . . + n(n - 1)(n - 2)Cn (x - a)n-3 , ·
kokku funktsiooniga f , st rahuldab tingimusi Pn (a) = f (a) , Pn (a) = f (a) , . . . , Pn(n) (a) = f (n) (a) . (3.34) Otsime meid huvitavat pol¨ unoomi j¨argmisel kujul: Pn (x) = C0 + C1 (x - a) + C2 (x - a)2 + C3 (x - a)3 +C4 (x - a)4 + . . . + Cn (x - a)n , (3.35) kus C0 , C1 , . . . , Cn on konstantsed kordajad. Nende kordajate m¨a¨aramiseks arvutame k~oigepealt Pn tuletised kuni j¨arguni n: Pn (x) = 1C1 + 2C2 (x - a) + 3C3 (x - a)2 + 4C4 (x - a)3 + . . . + nCn (x - a)n-1 , Pn (x) = 2 · 1C2 + 3 · 2C3 (x - a) + 4 · 3C4 (x - a)2 + . . . + n(n - 1)Cn (x - a)n-2 , Pn (x) = 3 · 2 · 1C3 + 4 · 3 · 2C4 (x - a) + . . . + n(n - 1)(n - 2)Cn (x - a)n-3 , ·
v~oi lim f (x) = ± xa+ Kui as¨umptoodiks olev sirge ei ole vertikaalne, siis selle t~ousunurk = , 2 sirge t~ous k = tan on l~oplik suurus ja kaldas¨ umptoodi v~orrand on y = kx+b. Tuletame valemid sirge t~ousu ja algordinaadi m¨a¨aramiseks funktsiooni y = f (x) j¨argi. Kui funktsiooni y = f (x) graafiku punkti M (x; y) liikumisel l~opmatusse punkti kaugus sirgest y = kx + b on l~opmatult kahanev suurus, siis |x| (vastasel korral on tegemist vertikaalas¨umptoodiga). Olgu M funktsiooni graafiku punkt (joonis 3.1) ja punkti kaugus sirgest y = kx + b l~oigu M P pikkus. Eelduse kohaselt on sirge y = kx + b funktsiooni y = f (x) graafiku as¨ umptoodiks, seega definitsiooni 2 kohaselt
test hulkadest. Selliseks punkti x ∈ X u ¨mbruste baasiks on n¨aiteks B(x) = { A | A ∈ T , x ∈ A }. Kui hulga X igale punktile x on mingi reegli alusel pandud vastavusse hulgad B(x) ⊂ P(X), siis hulgad B(x) moodus- tavad hulga X punktide u ¨mbruste baasi mingi topoloogia suhtes parajasti siis, kui hulgad (2.2) rahuldavad teoreemis 2.2 loetletud omadusi 10 −40 . Rakendustes tavaliselt hulgal X vaadeldava topoloogia m¨a¨aramiseks kirjeldatakse ainult hul- gad B(x). Seejuures teoreemi 2.2 omaduste 10 − 40 kontroll hulkade (2.2) jaoks j¨aetakse lugeja hooleks. ¨ Definitsioon 2.3 Oeldakse, et topoloogiline ruum X rahuldab esimest loenduvuse aksioomi, kui tema igal punk- til x leidub loenduv u¨mbruste baas B(x). 2.3 N¨ aiteid K˜oigis j¨argnevais n¨aiteis on topoloogia m¨a¨aratud punktide u ¨mbruste baasidega. N¨aide 2.1 Kui igale reaalarvule x ∈ R panna vastavusse
vastas too, keda oli Porthoseks nimetatud. «Jah, just nii, nagu minagi selle uue kukru ostsin,» sõnas teine musketär, «raha eest, mis mu armuke eelmisel õhtul vanasse kukrusse oli pistnud.» «Tõesõna,» ütles Porthos, «maksin selle eest kaksteist pistooli."» Imetlus kasvas kahekordseks, kuigi kahtlus jäi püsima. «Eks ole tõsi, Aramis?» küsis Porthos kolmanda musketäri poole pöördudes. Viimane musketär oli täielik vastand küsijale, kes teda Aramiseks nimetas: ta võis olla vaevalt kahekümne kahe või kahekümne kolme aastane nooruk naiivse ja leebe näoilmega, mustade mahedate silmadega, roosade sametiste põskedega -- otsekui sügisene persik. Ta peened vurrud joonistasid ülemisele huulele täiesti sirge joone; ta kartis kätel lasta vabalt rippuda, et nende soonekesed verd täis ei valguks, ning aeg-ajalt näpistas ta oma kõrvalesti, et nende õrna ja läbipaistvat puna alal hoida. Harilikult
annaabi.ee 
