Eksami mõisted (35 punkti), igale küsimusele võivad lisanduda näited. I osa Algebra ja geomeetria (8 punkti) 1. Vektorruumi mõiste, omadused. 2. Vektorruumi alamruum. Lineaarkate - alamruumi oluline näide. 3. Vektorsüsteemi lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. 4. Moodustajate süsteem. 5. Vektorruumi baas. Vektori koordinaadid baasi suhtes. 6. Vektorid. Geomeetrilise vektori mõiste. Lineaartehted, tehete omadused. Vektori projektsioon sirgele, teljele. Vektori pikkus. Vektori ja punkti koordinaadid 3- mõõtmelises ruumis. 7. Skalaarkorrutise mõiste. Skalaarkorrutise omadused. Skalaarkorrutise arvutamine koordinaatkujul. 8
4.Elementide liitmine on kommutatiivne, s.t. iga x, y V korral x + y = y + x. 5. Iga x V korral 1x = x. 6. Iga , R ja iga x V korral ()x = (x). 7. Iga R ja iga x, y V korral (x + y) = x + y. 8. Iga , R ja iga x V korral ( + )x = x + x Nullelement Kehtivad seosed x+0=x ja 0+x=x Vektorite vahe Vaheks nimetatakse elemendi ja vastandelemendi summat: x-y = x+(-y) Vastandelement Kehtivad seosed x + (-x)=0 ja (-x)+x=0 VEKTORRUUMI ALAMRUUM: Vektorruumi alamruum - Nimetame vektorruumi V mittetühja alamhulka Q tema alamruumiks, kui Q on V tehete liitmise ja arvuga korrutamise - suhtes vektorruum (üle reaalarvude) Vektorruumi V tehted on teheteks tema alamhulgal Q, kui: 1) iga x,y korral summa x+y Q 2) iga IR ja iga x korral x Lineaarkate Olgu m ja a1, a2, ...,am vektorruumi V elemendid. Hulka L(a1, a2, ...,am)= ={x=1a1+ 2a2 + ... + mam| 1, 2... m }
40 4.3 Hom¨oomorfism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ¨ 4.4 Ulesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 5 KONSTRUKTSIOONID TOPOLOO- GILISTE RUUMIDEGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.1 Topoloogia originaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2 Topoloogia kujutis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3 Alamruum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.4 Faktorruum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 5.5 Otsekorrutis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ¨ 5.6 Ulesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 4 6 ERALDUVUSE AKSIOOMID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6
.. } kaudu. Definitsiooni 10.4( 1 , 2 , ... , 10.2 {1 , 2 , ... , }) kohaselt vektori ± koordinaatideks on 1 ± 1, 2 ± 2, ... , n ± n Seega ± = ( 1 ± 1, 2 ± 2, ... , n ± n ) Leiame nüüd vektori avaldise baasi kaudu. Saame = (1 1 + 2 2 + + ) = (1 )2 + (2 )2 + + ( ) millest = (1 , 2 , ... . , ) Teoreem 12.1. Homogeense lineaarvõrrandisüsteemi kõigi lahendikomplektide hulk Lh on vektorruumi n (või Mat(1,n)) alamruum. Tõestus Valemi (8.5-) kohaselt on vaja esiteks näidata, et hulk L on mittetühi. See on meil juba näidatud. (Lahendiks on nullvektor) Teiseks on vaja näidata, et mistahes kahe reaalarvu ja ning lineaarvõrrandisüsteemi (12.3-) mistahes kahe lahendivektori = (1 , 2 , ... , ), = (1 , 2 , ... , ) korral ka vektor + = (1 + 1 , 2 + 2 , ... , + ) on lineaarvõrrandisüsteemi (12.3) lahendivektoriks. Kuna eelduse kohaselt , , siis
Kolmas omadus j¨areldub n¨ uu¨d lemma 29 kaasabil. ¨ Teoreem 31. Uleminekumaatriksi astak on dim V , s.t det PBB = 0 = det PB B T~oestus. Arvutame (¨ ulemineku)maatriksite determinantide kor- rutise: det PBB · det PB B = det(PBB PB B ) = det PBB = det I =1 Kuna korrutis on 1 = 0, siis tegurid ei saa olla nullid. 26 V. Vektorruumid 10 Alamruum ja lineaarne kate 10.1 Alamruum Vektorruumi V alamruumiks nimetatakse tema sellist mittet¨ uhja osahulka V V , mis rahuldab j¨ argmist tingimust: a, b V = a + b V , K 10.2 N¨ aide Vektorruum V on iseenda alamruum. Nullruum {O}, mis koosneb vaid vektorruumi V nullvektorist 0, on V alamruum. Neid alam-
suhtes Vektorruumi 1) leidub nullelement omadused 2) iga elemendi a korral leidub tema vastandelement a 3) (a+b)+c=a+(b+c) 4) a+b=b+a 5) k(a+b)=ka+kb 6) (k+l)a=ka+la 7) (kl)a=k(la) 8) 1a=a Vektorruumi Vektorruumi alamruumiks nimetatakse vektorruumi V mittetühja alamhulka U, alamruum kui U on vektorruumi V tehete suhtes vektorruum üle reaalarvude hulga R Lineaarkate Vektorruumi V elementide a1, a2, ..., an lineaarkatteks nimetatakse hulka L(a1, a2, ..., an)={k1a1+k2a2+...+knan, k1, k2, ..., kn R} Lineaarne sõltumatus Vektorsüsteemi a1, ..., an nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, kui mistahes k 1, ..., kn R korral võrdusest k1a1+k2a2+...+knan=0 järeldub, et k1=k2=...=kn=0
. . 34 5. Teoreem maatriksite korrutise determinandist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6. P¨o¨ordmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II. Vektorruum u ¨le reaalarvude 7. Vektorruumi m~oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8. Vektorruumi alamruum. Lineaarkate - alamruumi oluline n¨aide . . 53 9. Vektors¨ usteemi lineaarne s~oltuvus ja s~oltumatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 10. Vektorruumi baas. Vektori koordinaadid. Nende teisenemise valemid u ¨leminekul uuele baasile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 III. Lineaarv~orrandis¨ usteemid
. . 34 5. Teoreem maatriksite korrutise determinandist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6. P¨o¨ordmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II. Vektorruum u ¨le reaalarvude 7. Vektorruumi m˜oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8. Vektorruumi alamruum. Lineaarkate − alamruumi oluline n¨aide . . 53 9. Vektors¨ usteemi lineaarne s˜oltuvus ja s˜oltumatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 10. Vektorruumi baas. Vektori koordinaadid. Nende teisenemise valemid u ¨leminekul uuele baasile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 III. Lineaarv˜orrandis¨
Morfoloogilise ruumi kasutustelg on aga kvalitatiivselt piiratud kuue klassi poolt kirjeldatud v¨a¨artustega ¨ldisemalt K311 K321 K331 olekutega, kvantitatiivselt aga kan- v~oi u ji m¨argis¨ usteemi kuuluvate maksimaalselt 60 tuhande m¨argiga. Kuna m¨argiruumi ja m¨argi morfoloogilise ruumi kaks telge u¨htivad, v~oib morfo- loogilist ruumi pidada m¨argiruumi determineeritud alamruumiks. H¨ upotees oleks selline: juhul kui morfoloogiline alamruum osaleb semiosises, peab selle determineeritus avalduma protsessi tulemuses ning v~oimaldama selle anal¨uu¨si. 38 III Kanji m¨ arkide seletusi Senisest suhteliselt teoreetilisest arutelust tahaksin k¨aesolevas osas tulla rakenduslikule poolele, k¨ usides, kuidas on v~oimalik eelpool saadud tulemusi kasutada m¨argis~onastike v~ordlusel ning kas sellest tulenevad ka mingid juhised senistest t¨aiuslikemate m¨argis~onastike koostamiseks
annaabi.ee 
