1890 Herman Hollerith- perfokaartidega masin USA rahvaloenduse andmete töötlemiseks. Hollerith’i firmast tekkis IBM. 1906 Lee Deforest- vakuumne triood Hulgateooria Georg Cantor 1910-1913 Russell & Whitehead: massiivne loogikatraktaat Formalism:Hilbert “Hilberti programm” matemaatikale kindlate aluste rajamiseks: Matemaatika alused tuleb esitada loogika keeles, range aksiomaatikana. Tuleb tõestada, et nimetatud aksiomaatika ei ole vastuoluline, st temast ei ole võimalik tuletada korraga mingit väidet A ja sellesama väite eitust –A Intuitsionism: Brouwer & Heyting.Ei aktsepteeri näiteks: A v -A - -A <=> A (((A => B) => A) => A) Formaalne süsteem:Tarski ja Carnap Süntaks- lauseõpetus on keeleteaduse osa, mis uurib lausete struktuuri ning püüab formuleerida reegleid, mille aluselsõnad moodustavad fraase ning fraasid omakorda lauseid.
· täielikuks, kui iga semantikas S tõene valem on teoorias T tuletatav. (Def 1. Tuletuseks ehk formaalseks tõestuseks nim valemite jada 1 , 2 , ... , , milles iga valem on kas aksioom või saadud mingi tuletusreegliga mõnedest temale eelnevatest valemitest. Valemist F nim tuletatavaks, kui leidub tuletus, mille viimane liige on valem F) Sekventsiaalne lausearvutus. Tuletamine lausearvutuses. Eesmärk on formuleerida lausearvutuse jaoks aksiomaatika, mis on korrektne ja täielik samaselt tõesuse semantika suhtes. Kasutame Gentzeni-tüüpi süsteemi, mis vastab matemaatiliste väidete tõestamisel esinevatele arutluskäikudele paremini kui ajalooliselt vanemad Hilberti-tüüpi süsteemid. Lugeda lk. 88-96 Lausearvutuse korrektsus, mittevastusrääkivus (tõestustega). Teoreem 1. (korrektsuse teoreem) Kui sekvents 1 , 2 , ... , G on tuletatav, siis tema valemkuju on samaselt tõene. Tõestus lk. 91 Teoreem 2
Induktsiooniprintsiibi sõnastamisel kasutas Peano mõistet ``väide'' ehk ``omadus'', täpsustamata, mis keeles ja kuidas selliseid väiteid kirja võib panna. Seetõttu ongi tegemist postulaatidega, mitte aga range aksiomaatikaga. Frege väitis, et tal õnnestus Peano postulaadid range, hulgateoorial põhineva aksiomaatikana kirja panna. Russell demonstreeris vastuseks, et Frege aksiomaatika on vastuoluline, st sellest saab tuletada ka valesid väiteid. Järgnev Russelli paradoks sarnaneb Cantori paradoksiga, kuid on viimasest lihtsam. Moodustame kõigi selliste hulkade hulga, mis ei sisalda iseennast. Tähistame selle hulga tähega T. Küsime nüüd, kas T sisaldab iseennast. Oletame, et sisaldab (T Î T). T definitsiooni järgi (T on selliste hulkade hulk, mis iseennast ei sisalda) ei saa T sel juhul iseennast sisaldada (T not Î T). Saime vastuolu eeldusega, et T Î T
Ainukese artikli, mille ta eluajal avaldas, oli "Remarks on Logical Form", ehk märkused loogilisest vormist. mille ta esitas seltsile Aristotelian Society ettekandmiseks ning see avaldati toimetises. Wittgenstein oli nõrdinud sest tema teoseid polnud keegi eriti avaldanud ja tema mõtteid polnud ükski filosoof omaks võtnud. Wittgensteini varase perioodi ideoloogia ühtib põhiloomult selleagse filosoofia ideestiku ja ootustega ühe universaalse formalismi ning aksiomaatika järele, mille abil saaks kõike kirjeldada. Ludwig Wittgensteinil on elukestev huvi religiooni vastu ning ta väitis, et vaatab iga probleemi usu seisukohast. Wittgensteini kirjutisi läbib neli põhiteemat: headus, väärtus, tähendust ja elu. Wittgenstein oli mures, kas ta on on moraalselt hea või lausa täiuslik. Samas oli ta ise gei. 1920. ja 1930. aastatel ründas ta oma loomingus "Traktaadis" väljenduva filosoofilise perfektsionismi vastu
A+B = B+A, AB = BA, AA = A Kaasaegse loogika alus: Gottlob Frege 1879: Kontseptuaalne notatsioon ("Begriffsschrift") loob kaasaegse predikaatarvutuse: Näide: Isa(Jaan,Mihkel). Isa(Jaan,Ants). Isa(Ants,Peeter). Iga x, y, z jaoks: Isa(x,y) & Isa(y,z) => Vanaisa(x,z). Tõesta, et eksisteerivad z, u nii et Vanaisa(z,u) "Hilberti programm" matemaatikale kindlate aluste rajamiseks: Matemaatika alused tuleb esitada loogika keeles, range aksiomaatikana. Tuleb tõestada, et nimetatud aksiomaatika ei ole vastuoluline, st temast ei ole võimalik tuletada korraga mingit väidet A ja sellesama väite eitust -A Claude Shannon MIT, 1938, Shannon'i magistritöö sidus: Boole algebra Elektrilülitid ja -skeemid Bitid ja info kodeerimine Info otsimise algoritmid Tarkvarasüsteemid ehitatakse reeglina mitmesuguste komponentide kokkupaneku, s.t. kokkuprogrammeerimise teel, või teisiti öeldes: komponente kasutades. Neid komponente võib klassifitseerida - näiteks - järgmisel viisil:
Hulgateooria rajaja, Paradokside avastamine matemaatikas, Matemaatika alused korraga ebakindlad RUSSELL & WHITEHEAD 1910-1913 massiivne loogikatraktaat Principia Mathematica Paradoksid -> tüüpide teeoria Filosoofilised vaated: logitsism HILBERT 1862-1943 ( LOOGIK JA MATEMAATIK) Filosoofilistelt vaadetelt formalist "Hilberti programm" matemaatikale kindlate aluste rajamiseks: Matemaatika alused tuleb esitada loogika keeles, range aksiomaatikana. Tuleb tõestada, et nimetatud aksiomaatika ei ole vastuoluline, st temast ei ole võimalik tuletada korraga mingit väidet A ja sellesama väite eitust -A KURT GÖDEL 1906-1978 1930: loogika baaskeel predikaatarvutus on täielik 1931: formaalne aritmeetika ei ole täielik, seda ei saagi lõpliku formaalse süsteemiga kirjeldada TURINGI MASIN 1935-1937: artikkel Turingi masinast: universaalsus, mittelahenduvus Lihtne abstraktne arvuti, mida kasutatakse arvutatavuse ja selle piiride uurimiseks.
arvude vahel. Eulri valemi rakendusi. [41]. Graafi tasandilisuse kriteeriumid. Kuratowski teoreem. [42]. Graafi tippude värvimise ülesanne. Brooksi teoreem (tõestuseta). [43]. Tasandilise lihtgraafi värvimine 6 ja 5 värviga. Neljavärviprobleem ja kaartide värvimine. I. OSA [1]. Hulgad. Alam- ja ülemhulgad. Tehted hulkadega. Hulk on koosvaadeldavate objektide kogum. *Eristatakse kaht erinvat hulgateooriat: Naiivne hulgateooria- Naiivses hulgateoorias puudub kindel tugev aksiomaatika, ent ta on piisavalt efektiivne väga paljude lihtsamate vajaduste rahuldamiseks. Sageli õpetatakse matemaatikas esmalt naiivset hulgateooriat, kuna ta võimaldab inimesel paremini mõista hulga kontseptsiooni ning seda, miks aksioomid vajalikud on. Ka meie kasutasime kursuse raames naiivset hulgateooriat. Loojaks loetakse George Cantorit(19.saj.) Aksiomaatiline hulgateooria- Kuna on teada, et naiivne hulgateooria jookseb väga paljudel juhtudel ummikusse (nt
Hulgateooria: Georg Cantor Elas 1845-1918 Hulgateooria rajaja Paradokside avastamine matemaatikas Matemaatika alused korraga ebakindlad Hilbert Loogik ja matemaatik: 1862-1943 Filosoofilistelt vaadetelt formalist “Hilberti programm” matemaatikale kindlate aluste rajamiseks: Matemaatika alused tuleb esitada loogika keeles, range aksiomaatikana. Tuleb tõestada, et nimetatud aksiomaatika ei ole vastuoluline, st temast ei ole võimalik tuletada korraga mingit väidet A ja sellesama väite eitust -A Intuitsionism: Brouwer & Heyting Ei aktsepteeri näiteks: A v -A - -A <=> A (((A => B) => A) => A) Formaalne süsteem Tarski ja Carnap Süntaks Tuletamisreeglite süsteem Semantika Kurt Gödel (1906-1978) 1930: loogika baaskeel predikaatarvutus on täielik
Loomulikud keeled ja loomulik maailm on meie jaoks tohutu märkide reservuaar, paljude semiootikate manifestatsiooni koht. Greimas Semiootiline teooria eelkõige signifikatsiooni/tähenduse teooria. Eksplitseerida teoreetiliste konstruktide vormis tähenduse mõistmise ja tootmise tingimused. See mõisteline eksplitseering viib/juhib seejärel teooria kasutatavate mõistete formaalse väljenduse juurde: tuleb formuleerida teatud semiootiline aksiomaatika. Järgmine etapp seisneb minimaalse formaalse keele koha määratlemises. Ja alles seejärel peaks teooria hakkama tegema valikut representatsiooni süsteemidest, milles ta hakkab formuleerima oma protseduure ja mudeleid (näiteks, semiootiline ruut või elementaarne väljend). Semiootika liigitus objektist lähtuv Üldsemiootika e teoreetiline uurib märke ja kuidas tekib tähendus. Märkide loomust, päritolu ja arengut. Teised on üldsemiootika rakendused
Paradokside avastamine matemaatikas. Matemaatika alused korraga ebakindlad. Russell & Whitehead 1910-1913: massiivne loogikatraktaat. Principia Mathematica: Paradoksid -> tüüpide teeoria. Filosoofilised vaated: logitsism. Formalism; Hilbert Loogik ja matemaatik: 1862-1943. Filosoofilistelt vaadetelt formalist. “Hilberti programm” matemaatikale kindlate aluste rajamiseks: Matemaatika alused tuleb esitada loogika keeles, range aksiomaatikana. Tuleb tõestada, et nimetatud aksiomaatika ei ole vastuoluline, st temast ei ole võimalik tuletada korraga mingit väidet A ja sellesama väite eitust -A. Intuitsionism: Brouwer & Heyting Ei aktsepteeri näiteks: A v -A, - -A <=> A, (((A => B) => A) => A). Formaalne süsteem - Tarski ja Carnap: Süntaks, Tuletamisreeglite süsteem, Semantika. Täielikkus ja mittetäielikkus Kurt Gödel (1906-1978) 1930: loogika baaskeel predikaatarvutus on täielik
annaabi.ee 
