22 ¨ 2 UMBRUSED Teoreem 2.8 Meetrilises ruumis on iga koonduva jada piir- v¨a¨artus u ¨heselt m¨a¨aratud. T˜oestus. Olgu X meetriline ruum meetrikaga d. Vali- me ruumis X koonduva jada (xn )n∈N ning olgu x ja y tema piirv¨a¨artused: lim xn = x, lim xn = y. n→∞ n→∞ N¨aitame, et x = y. Vastuv¨aiteliselt eeldame, et x = y. Siis meetrika omaduste 10 ja 20 t˜ottu r = d(x, y) > 0. Valime s = 0, 5r. Siis B(x; s) ∩ B(y; s) = ∅. (2.4) T˜oepoolest, kui (2.4) ei kehtiks, siis leidub z ∈ B(x; s) ∩ B(y; s) ja d(x, z) < s, d(z, y) < s, kust kolmnurga aksioomi p˜ohjal r = d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) < s + s = 2s = r ehk r < r, mis on vastuolu. Kuna lahtised kerad B(x; s)
T~oestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. K~oigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F+C, kus C on konstant, on t~oepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F'(x) = f(x) iga x D korral, siis [F(x) + C]' = F'(x) + C' = F'(x) = f(x) iga x D korral, mis n¨aitab, et suvaline funktsioon F + C, kus C on konstant, on t~oesti f alg- funktsioon hulgas D. T~oestame nu¨u¨d teoreemi v¨aite: f-i k~oik algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F +C. Selleks oletame vastuv¨aiteliselt, et f-l leidub algfunktsioon G, mis ei avaldu kujul F +C. Arvutame G ja F vahe tuletise. Kuna G ja F on u¨he ja sama funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D, siis saame (G(x) - F(x))' = G'(x) F'(x) = f(x) - f(x) = 0 iga x D korral. Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega G - F = C, kus C on mingi konstant. Viimasest v~ordusest saame seose G = F +C, mis n¨aitab, et G ikkagi avaldub kujul F + C. J~oudsime vastuolule. Teoreem on t~oestatud.
a + (-)a = ( - )a = 0a = o = (-)a = -(a) N¨ uu¨d arvutame (-)a = (-1)a = [(-1)]a = [(-1)a] = (-a) mis viib n~outud v~orduseni (B). 8 V. Vektorruumid 3.13 Nullitegurite puudumine vektorruumis Lause 10. Vektorruumis puuduvad nullitegurid, s.t a = o = 0 v~ oi a=o T~ oestus. = : Olgu a = o. Oletame vastuv¨ aiteliselt, et leiduvad -1 nullitegurid, s.t = 0 ja a = o. Siis K ning a = 1a = (-1 )a = -1 (a) = -1 o = o mis on vastuolus oletusega, et a = o. Tulemus (vastuolu) u ¨tleb, et korrutises a = o peab v¨ ahemalt u¨ks teguritest olema null. = : Olgu = 0 v~ oi a = o. Siis a = o eespool t~ oestatud Lausete 6 ja 7 p~ohjal. 3
n0 N : n > n0 |xn | > . 2 Lause 4. Kui jadad {xn } ja {yn } on koonduvad ja nende jadade u ¨ldliikmed rahul- davad iga n N korral v~ orratust xn yn , siis samasugust v~orratust rahuldavad ka nende jadade piirv¨ a¨artused, st xn a yn b xn yn a b. T~oestame selle lause vastuv¨ aiteliselt, st oletame, et a > b. Valime = (a - b)/2 > 0. Tulemuseks saame xn a ( = (a - b)/2 > 0 n1 N : n > n1 |xn - a| < (a - b)/2) yn b ( = (a - b)/2 > 0 n2 N : n > n2 |yn - b| < (a - b)/2) n0 =max{n1 , n2 } |xn - a| < (a - b)/2 n > n0
summana. Teoreemi 4.1 p~ohjal y b1 lim= , xa z b2 mida oligi tarvis t~oestada. J¨atkame nn j¨arjestusega seotud piirv¨a¨artusteoreemidega. Teoreem 5.6. Mittenegatiivse suuruse piirv¨a¨artus antud piirprotsessis on mittenegatiivne, st kui muutuv suurus y 0 punkti a mingis u ¨mbruses ja lim y = b, siis b 0. xa T~oestus. Oletame vastuv¨aiteliselt, et lim y = b < 0. Kui y 0 ja b < 0, xa siis |y - b| > |b|. Kui valida positiivne nii, et < |b|, siis tingimus |y - b| < ei saa olla t¨aidetud, u¨ksk~oik kui a-le l¨ahedase x v¨a¨artuse me ka ei valiks, st tekib vastuolu eeldusega lim y = b. Vastuolu tekkis oletusest b < 0, j¨arelikult xa lim y = b 0 xa Teoreem 5.7. Kui punkti a mingis u ¨mbruses y z ja on olemas piirv¨a¨artused
K~oigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F +C, kus C on konstant, on t~oepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F (x) = f (x) iga x D korral, siis [F (x) + C] = F (x) + C = F (x) = f (x) iga x D korral, mis n¨aitab, et suvaline funktsioon F + C, kus C on konstant, on t~oesti f alg- funktsioon hulgas D. T~oestame n¨uu ¨d teoreemi v¨aite: f -i k~oik algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C. Selleks oletame vastuv¨aiteliselt, et f -l leidub algfunktsioon G, mis ei avaldu kujul F + C. Arvutame G ja F vahe tuletise. Kuna G ja F on u ¨he ja sama funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D, siis saame (G(x) - F (x)) = G (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0 iga x D korral. Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega G - F = C, kus C on mingi konstant. Viimasest v~ordusest saame seose G = F + C, mis n¨aitab, et 103 G ikkagi avaldub kujul F + C
K~oigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F +C, kus C on konstant, on t~oepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F (x) = f (x) iga x D korral, siis [F (x) + C] = F (x) + C = F (x) = f (x) iga x D korral, mis n¨aitab, et suvaline funktsioon F + C, kus C on konstant, on t~oesti f alg- funktsioon hulgas D. T~oestame n¨uu ¨d teoreemi v¨aite: f -i k~oik algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C. Selleks oletame vastuv¨aiteliselt, et f -l leidub algfunktsioon G, mis ei avaldu kujul F + C. Arvutame G ja F vahe tuletise. Kuna G ja F on u ¨he ja sama funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D, siis saame (G(x) - F (x)) = G (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0 iga x D korral. Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega G - F = C, kus C on mingi konstant. Viimasest v~ordusest saame seose G = F + C, mis n¨aitab, et 103 G ikkagi avaldub kujul F + C
annaabi.ee 
