Kuna d(uv) = uv + C integraalide tabeli valemi 1 p~ohjal, siis uv + C = vdu + udv. Konstandi C v~oib sellest valemist v¨alja j¨atta, sest m~olemad m¨a¨aramata integraalid udv ja vdu sisaldavad juba m¨a¨aramata konstante. Viies vdu v~orduse teisele poolele saame udv = uv - vdu Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. Ositi integreerimise valemit kasutades saab avaldada integraale xn sin(ax)dx, xn cos(ax)dx, xneaxdx, (lnx)ndx, kus n on positiivne t¨aisarv ja a on reaalarvuline konstant. Samuti saab seda v~otet kasutades leida integraale arkusfunktsioonidest. 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted . 37. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem. 38. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Tuletada vastav valem. 39. Määratud integraali omadused (sh omadused 3 6 koos põhjendustega). Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. 40
-1 · 3 - 2 · 0 - 5 · 2 -13 Lahendi kontrollimiseks arvutame 1 -2 2 11 1 · 11 + 2 · 9 - 2 · 13 3 2 1 1 - 9 = 2 · 11 - 1 · 9 - 1 · 13 = 0 1 0 1 -13 1 · 11 - 0 · 9 - 1 · 13 -2 II. Maatriksarvutus 19 7 Maatriksargumendiga funktsioonid 7.1 Maatriksi aste Olgu n on positiivne t¨aisarv ning A ruutmaatriks. Maatriks An defineeritakse valemiga An := AA · · · A n korda Kui A on regulaarne maatriks, siis leidub p¨o¨ordmaatriks A-1 . Maatriks A-n defineeritakse valemiga A-n := (A-1 )n = A-1 A-1 · · · A-1 n korda Kui n = 0, siis A0 := I. 7.2 Maatrikspolu ¨ noom Avaldist
nusfunktsiooni perioodiks. Koosinusfunktsiooni perioodiks on samuti 2, tan-
gensfunktsiooni perioodiks on .
Trigonomeetrilised funktsioonid ei ole kaugeltki mitte ainsateks perioodi-
listeks funktsioonideks. Defineerime nn "saehamba"funktsiooni
x - n, kui nx
5; 1) vasakult suunduva noolekesega, et funk- tsiooni (x) v¨ a¨artus x = 0.5 korral ei ole +1, vaid on -1. Haar'i emalainekese m¨ a¨aramispiirkonnaks on R ja v¨a¨artuste hulgaks {-1; 0; 1} . Haar'i lainekesed j,k = ( 2)j (2j x - k) (j, k Z) leiavad kasutamist signaalide kirjeldamisel. N¨aide 7. Olgu [x] arvu x t¨ aisosa, st suurim t¨aisarv, mis ei u ¨leta arvu x. Nii funktsiooni y = [x] kui ka funktsiooni y = x - [x] m¨a¨aramispiirkond on R ja muu- tumispiirkonnad vastavalt k~oigi t¨ aisarvude hulk Z ja pooll~oik [0; 1) . Skitseerime nende funktsioonide graafikud l~ oigul [-2; 3] : 2 2
piirprotsessidest: x a- , x a+ , x - , x . Teoreemist 2.1 j¨areldub vahetult j¨argmine teoreem: Teoreem 2.4. Funktsioon (x) on l~ opmatult kahanev suurus protsessis x a 1 siis ja ainult siis, kui (x) on l~ opmatult kasvav suurus samas protsessis. Toome m~oned n¨ aited. 1. Vaatleme funktsiooni (x - a)n , kus n on positiivne t¨aisarv. See funktsioon on l~opmatult kahanev protsessis x a, st lim (x - a)n = 0. Seega (x-a) 1 n on xa l~ opmatult kasvav samas protsessis, st lim (x-a)1 n = . Siin v~oib eristada kaks xa erijuhtu: n > 0 iga x = a korral. Seega (x-a)n
piirprotsessidest: x a- , x a+ , x - , x . Teoreemist 2.1 j¨areldub vahetult j¨argmine teoreem: Teoreem 2.4. Funktsioon (x) on l~ opmatult kahanev suurus protsessis x a 1 siis ja ainult siis, kui (x) on l~ opmatult kasvav suurus samas protsessis. Toome m~oned n¨ aited. 1. Vaatleme funktsiooni (x - a)n , kus n on positiivne t¨aisarv. See funktsioon 1 on l~opmatult kahanev protsessis x a, st lim (x - a)n = 0. Seega (x-a) n on xa 1 l~opmatult kasvav samas protsessis, st lim (x-a) n = . Siin v~oib eristada kaks xa erijuhtu: 1 1 1 1a
annaabi.ee 
