n3 x2 I III z=0 1 0 1 II I: KONTROLL: 3x1+x2=9 Lõikepunkt on võrrandite sü x1=0 : 3*0+x2=9, x2=9 lahendus: x2=0 : 3*x1+0=9, 3x1=9, x1=3 3x1+x2=9 -x1+x2=1 II: -x1+x2=1 4x1=8 x1=0 : 0+x2=1, x2=1 x1=2, -2+x2=1, x2=1+2, x2= x2=0 : -x1+0=1, -x1=1, x1=-1 Punkt (2; 3) III: x1+x2=6 z=4*2+3*3 x1=0 : 0+x2=6, x2=6 z=17 sihifunktsiooni maksim x2=0 : x1+0=6, x1=6 z=0: z=4x1+3x2=0 x1=0 : 4*0+3x2=0, 3x2=0, x2=0 x2=4 : 4x1+3*4=0, 4x1=-12, x1=-12:4, x1=-3 Graafik:
2tipp B(1,33;5) 3tipp C(3;5) 4tipp D(3;0) A(0;3) B(1,33;5) C(3;5) D(3;0) Fa= 6 Fb= 12,66 Fc= 16 Fd= 6 Ülesanne 2 Lahendada lineaarse planeerimise ülesanne graafilisel meetodil. 3x1 + 2x2 54 4x1 + 5x2 100 x1 0 x2 0 Leida lubatud lahendite piirkonna moodustava hulknurga tippude koordinaadid: Valida sobiv variant. 1. (0,27); (10, 12) ; (18, 0) 2. (0, 0); (0, 20); (10, 12); (18, 0) 3. (18, 0); (10, 12); (0,2 0) 4. (18, 0); (10, 12); (25, 0) 5. (0, 27); (0, 20); (10, 12) Ülesanne 3
Tulemusena selgitada: Milliseid tooteid valmistada ja toota, et saadav kasum oleks suurim? Millisel määral kasutatakse optimaalse plaani korral materjale? Kui suurenda materjalide kogust, kas see suurendaks ka kasumit ja kui palju? X1, X2, X3, X4 toodete valmistamise kogused Z= 20x1+10x2 + 4x3+8x4 MAX - kasum toodangult (kr) 2x1 + 1x3 + 4x4 <= 400 - pärisnahk (m) 4x1 + 2x2 + 4x3 + <= 200 - kangas nr 1 (m) 1x1 + 1x2 + 2x3 + 4x4 <=100 - kunstnahk (m) x2 + + 4x4 <=80 - kangas nr 2 (m) Tundmatute mittenegatiivsus: x1<=0, x2<=0, x3<=0, x4<=0 Viin sihifunktsiooni suurused ühele poole: Z-20x1-10x2 -4x3 -8x4 =0 Lisan abitundmatud võrrandi saamiseks: 2x1 + 1x3 + 4x4 + x5 <= 400 4x1 + 2x2 + 4x3 + + x6 <= 200
1 Tooteportfelli mudel 2 3 Sisendandmed 4 Tunnitasu $8,00 z=6x1+2x2+4x3+3x4->max (kasum) 5 Metalli hind untsi kohta $0,50 2x1 +x2+3x3+2x4<=4000 (tööjõud) 6 Klaasi hind untsi kohta $0,75 4x1+2x2 +x3+2x4<=6000 (metall) 7 6x1+2x2 +x3+2x4<=10000 (klaas) 8 Raami tüüp 1 2 3 4 x1 <=1000 (raam 1) 9 Tööjõutunde raami kohta 2 1 3 2 x2 <=2000 (raam 2) 10 Metalli (un
x tingimused changing cells : 0,5 0,5 (constraints) 0,5 funktsioon target cell: 1,75 Ülesanne 4. kordajad siia x1 x2 tingimused 4x1+x2>=18 4 1 18 48 5x1+6x2<=174 5 6 174 174 (-7x1)+2x2<=6 -7 2 6 6 (-2x1+7x2>=6) -2 7 6 156 0<=x1<=18 otsitavad 6 24
Tööjõud (h 150 2 1 2 2 450m2 ja niiti 235 rulli. Aeg Kasum 32 65 12 35 pealt 65 eurot, Lille pealt 12 x1 x2 x3 x4 Muutujad 0.00 58.75 0.00 0.00 Z Sihtfunkt 3818.75 Matemaatiline mudel Z= 32x1+65x2+12x3+35x4-> max 4x1+2x2+4x3+6x4≤320 5x1+3x2+3x3+4x4≤450 3x1+4x2+5x3+3x4≤235 2x1+1x2+2x3+2x4≤150 Sihifunktsiooni kasum peab olema maksimaalne kui kasum Puhhil on 32, Maasikul 38, Lillel 12 ja Koeral 35 eurot. Vatti kulub Puhhile, Maasikule, Lillele ja Koerale vastavalt 4, 2, 4 ja 6 kuupmeetrit. Kokku on vatti olemas 320 kuupmeetrit. Riiet kulub Puhhile, Maasikulee, Lillele ja Koerale vastavalt 5, 3, 3 ja 4 ruutmeetrit. Kokku on riiet kasutada 450 ruutmeetrit.
Kasumit saadakse erineva toodangu müügist vastavalt 25; 30 ja 35 € toodanguühiku kohta. Kui palju erinevaid tooteid tuleb valmistada, et tehase kasum oleks suurim? 1) Formuleerida lineaarse planeerimise ülesanne. x1 Toode A I operatsioon 3x1 + x2 x2 Toode B II operatsioon x1 + 2x2 x3 Toode C III operatsioon 4x1 + 3x2 F= 25x1+30x2+35x3 --->max 2) Lahendada MS Exceli Solveriga (Report). Toode A Toode B Toode C Kitsendused x1 x2 x3 Arvutuslik
4:2:2- 2x2 Y , 2 Cb 2 Cr ( 2:1 ). ); f ( x) cos -AT&T a2b AAC -Liquifier PRO AAC 4:1:1- 4x1 Y , 1 Cb 1 Cr ( 4:1 ). -
.i.!.#.%Al 5 2 =$4X1 ffiiin: =,&f=r 40 ffi= 26 lil'?rE J tri},IiB.ffiffi$ 40 H= ::,
x2 _ II toote kogus, tk f(x) = 50x1 + 30x2 (max ), 2 x1 + x 2 80 0,1x + 0,12 x 6 1 2 x1 30 x 2 40 xk 0 . Ülesanded: Lahendada graafiliselt lineaarse planeerimise ülesanded: 1. f(x) = 5x1 2x2 ( max ) 3 x1 - 2 x 2 6 3x + 2 x 0 1 2 x1 2 x k 0 . 2. f(x) = 8x1 2x2 (max ) 3x1 + 4x2 18 3x1 x2 3 2x1 + x2 18 . 4x1 x2 24 x2 6 3. f(x) = -x + 2y ( max ) x - 8 y 10 x + y 1 x - 5 y -5 3 x + 10 y 30 . 4. f(x) = 12x + 4y ( min ) x + y 2 x - y 0 x 0,5 y 4. Duaalne ülesanne. Igale lineaarse planeerimise ülesandele vastab teine ülesanne, mis on antud ülesandega seotud, kuid millel on oma majanduslik sisu. Näiteks, kui ül4sanne on koostatud ressursside optimaalsele kasutamisele, eesmärgiga toota
x2 _ II toote kogus, tk f(x) = 50x1 + 30x2 (max ), 2 x1 + x 2 80 0,1x + 0,12 x 6 1 2 x1 30 . x 2 40 xk 0 Ülesanded: Lahendada graafiliselt lineaarse planeerimise ülesanded: 1. f(x) = 5x1 2x2 ( max ) 3 x1 - 2 x 2 6 3x + 2 x 0 1 2 . x1 2 xk 0 2. f(x) = 8x1 2x2 (max ) 3x1 + 4x2 18 3x1 x2 3 2x1 + x2 18 . 4x1 x2 24 x2 6 3. f(x) = -x + 2y ( max ) x - 8 y 10 x + y 1 . x - 5 y -5 3 x +10 y 30 4. f(x) = 12x + 4y ( min ) x + y 2 x - y 0 x 0,5 y 4. Duaalne ülesanne. Igale lineaarse planeerimise ülesandele vastab teine ülesanne, mis on antud ülesandega seotud, kuid millel on oma majanduslik sisu. Näiteks, kui ül4sanne on koostatud ressursside optimaalsele kasutamisele, eesmärgiga toota
5 1 oleksid positiivsed. Saame M(P,j=1) =M(P,Q)=(1,0)T. M(P,j=1)=4p1+3p2+5p31 M(P,j=2)=2p1+4p2+p31 p1+p2+p3=1 P0 Analoogiliselt koostame valemi 2 jaoks. Hiljem leiame, et 1= 2. Tähistame xi=pi/1, yi=qi/2 I mängija tahab oma võite maksimeerida, ehk kui me asendame p'd x'dega, tahab ta seda funktsiooni minimeerida. Saame teisendades LP ülesande: (teisendused jagan läbi -ga) z=x1+x2+x3=1/1àmin 4x1+3x2+5x31, 2x1+4x2+x31 x0. Sarnaselt koostame ka LP ülesande II mängija kaotuse kohta, kus sihifunktsioon on vastassuunaline. Need kaks ülesannet on duaalülesanded. Kuna optimaalsed lahendid z*=w*, siis järelikult 1/1=1/2, seega 1=2=. Lahendades ühe neist LP ülesannetest saamegi optimaalse segastrateegia, mida saab laiendada duaalülesande kaudu ka teisele mängijale. Märkused: Iga nullusummalist kahe isiku mängu saab lahendada LP ülesane abil, kui selleks pole vajadust
3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4 9x1 + 4x2 + 7x3 + x4 = 2 on koosk~ olaline. 2 Alfredo Capelli (1855-1910), itaalia matemaatik 6 IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 5.3 ¨ Ulesanne N¨aidata, et s¨ usteemil 4x1 + 2x2 - 5x3 + 3x4 = 4 6x1 + 4x2 - 7x3 - 5x4 = - 6 3x1 + x2 - 4x3 + 7x4 = 10 puuduvad lahendid. Uurida (selgitada) p~ ohjust. 5.4 Lahendite arvust Teoreem 5. Koosk~ olalisel LVS-il 1.1 on 1) parajasti u ¨ks lahend kui n = r(A), 2) l~ opmata palju lahendeid, kui n > r(A). 6 ¨ Uld- ja erilahend 6.1 ¨ Uld- ja erilahendi m~
reaalne SKP töötuse määr asenduse piirmäär MRS inflatsioonimäär 2. Võrreldes retsessiooniga reaalne SKP depressiooni ajal: kahaneb palju kiiremini 3. Eeldame, et koguprodukt koosneb ainult neljast ühikust õuntest ja kuuest ühikust apelsinidest, õunaühiku hind on 1 rahaühik ja apelsinide ühikuhind 0,5 rahaühikut. Eeldades, et tegemist on lõpptarbimise toodetega on SKP väärtus: 7 SKP = 4x1 + 6x0.5 4. Kui nominaalne SKP kasvab 5 protsenti ja SKP deflaator kasvab 3 protsenti, siis reaalne SKP deflaator ................... ligikaudu ........... protsenti: suureneb; 2 SKP deflaator = 5-2 5. Rahvamajanduslikus arvepidamises loetakse investeeringuteks kõiki alljärgnevaid, välja arvatud: ‘ korporatsioonide aktsiate ostmine ettevõtete kulutused uuele sisseseadele ning uusehitustele
annaabi.ee 
