maatriksite abil, ja tõestada see väide. 3.3 Eelmise punkti tulemust kasutades leida Boole´i maatriksite abil hulgal X = {1,2,3} määratud relatsioonide R = {(1, 2), (2, 2), (3, 1), (3, 3)} Ja S = {(1, 1), (2, 2), (2,3), (3,2)} Kopmositsioon. 3.4 Teha kindlaks, kas ühel ja samal hulgal määratud transitiivsete relatsioonide kompositsioon on alati samuti transitiivne. 4. Suurim ühistegur 4.1 Tõestada, et suvaliste naturaalarvude a ja b korral kehtib võrdus SÜT(2a, 2b)= 2SÜT(a,b). 4.2 Olgu arvude a ja b korral leitud arvud s ja t nii, et SÜT(a,b)= as+bt. Millised on vastavad arvud 2a ja 2b korral? 4.3 Millised on vastavad arvud eelmises punktis arvude a ja a+b korral? 4.4 Olgu a ja b fikseeritud naturaalarvud. Valime naturaalarvud s ja t selliselt, et nad oleksid nii arvudega a ja b kui ka omavahel ühistegurita. Milliseid väärtusi võib
algarvude hulk on lõpmatu Eratosthenes leiutas meetodi, kuidas algarvud eraldada naturaalarvude hulgast Tänapäeval püütakse veel leida valemit, mille abil võimaldaks leida, kui palju on selliseid algarve, mis on väiksemad kui mingi ette antud arv, nt 1000; Arvude ühistegurid Ühistegur arv, millega jagub iga antud arv Nt. On võetud kolm arvu: 420, 462 ja 882. Need arvud jaguvad 21ga. Sel juhul öeldakse, et 21 on arvude 420, 462 ja 882 ühistegur. Suurim ühistegur (SÜT) suurim arv, millega jagub iga antud arv Arvude ühiskordsed Ühiskordne arv, mis jagub iga antud arvuga Antud arvudel on lõpmata palju ühiskordseid, kõige enam vajatakse aga vähimat neist Vähim ühiskordne vähimat nullist erinevat arvu, mis jagub iga antud arvuga Nt. Leiame arvude 462 ja 156 vähima ühiskordse. Lahendus. 462 2 156 2 231 3 78 2
Kordarv naturaalarv, millel on rohkem kui kaks tegurit.; Tegur (ehk jagaja) täisarv, millega jagub vaadeldav täisarv; Ristsumma numbrite summa; Jaguvus - kui ühe naturaalarvu jagamisel teisega saadakse tulemuseks naturaalarv, siis öeldakse, et esimene arv jagub teisega; Ühistegur (ehk ühisjagaja) täisarv, millega jaguvad kõik vaadeldavad täisarvud; Ühiskordne naturaalarv, mis jagub kõigi vaadeldavate naturaalarvudega; Suurim ühistegur (SÜT) - suurim arv, millega jagub iga antud arv; Väikseim ühistegur (VÜT) väikseim arv, millega jagub iga antud arv; 5 3. Algarvud ja kordarvud Vaatame, missuguste arvudega jaguvad naturaalarvud 1-st 10-ni. 1 jagub 1-ga; 2 jagub 1-ga ja 2-ga; 3 jagub 1-ga ja 3-ga; 4 jagub 1-ga, 2-ga ja 4-ga; 5 jagub 1-ga ja 5-ga; 6 jagub 1-ga, 2-ga, 3-ga ja 6-ga; 7 jagub 1-ga ja 7-ga; 8 jagub 1-ga, 2-ga, 4-ga ja 8-ga; 9 jagub 1-ga, 3-ga ja 9-ga;
etteantud sümbol etteantud tekstis; kui sümbolit tekstis ei ole, on funktsiooni väärtuseks 0 mitmes (tekst, sümbol) 3) funktsioon, mis väljastab etteantud teksti sümbolid vastupidises järjestuses tagurpidi (tekst) 4) Suurim ühistegur (SÜT) Koostada töölehe funktsioon kahe arvu suurima ühistegugi leidmiseks. Vt. skeemi. Antud arvude suurimaks ühisteguriks nimetatakse suurimat arvu, millega kõik antud arvud jaguvad. Function SÜT (arv1 As Long, arv2 As Long) As Long a = arv1 b = arv2 Do c = a Mod b If c = 0 Then SÜT = b Exit Do End If a = b b = c Loop End Function 5) Kuudi seinte värvimine
puuduvad. 82. Sarnased hulknurgad hulknurgad, mille vastavad nurgad on võrdsed ja vastavad küljed on võrdelised. 83. Sarnasustegur sarnaste hulknurkade vastavate külgede pikkuste jagatis. Tähis k. 84. Sfäär kera pind. 85. Silinder keha, mille moodustab ümber oma ühe külje pöörlev riskülik. 86. Sirgnurk nurk, mille haarad moodustavad sirgjoone. 180o 87. Siseringjoon ringjoon, mis puutub hulknurga kõiki külgi. 88. Suhe jagatis 89. Suurim ühistegur mitme täisarvu ühistegur, mis jagub nende arvude iga teise teguriga. 90. Taandamine 1. hariliku murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. 2. võrduse mõlema poole jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. 91. Taandamata ruutvõrrand ruutvõrrand kujul ax2+bx+c=0 92. Taandatud ruutvõrrand ruutvõrrand kujul x2+px+q=0 93. Tekstülesanne ülesanne, mille lähtesituatsiooni on kirjeldatud sõnalisel kujul. 94
56 3. Hariliku murru taandamine Hariliku murru põhiomadus: Kui murru lugejat ja nimetajat korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga, siis saame selle murruga võrdse murru. Murru taandamine on murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva naturaalarvuga. Näide: (taandatud 2-ga) Murdu saab taandada ainult siis, kui tema lugejal ja nimetajal on 1-st erinev ühistegur. Kui selline ühistegur puudub, siis ei saa murdu taandada.. 5 11 Näited: , 6 8 Selliseid murde nimetatakse taandumatuteks murdudeks. Murdu saab võib taandada kahte moodi: 1) järk-järgult, valides lugeja ja nimetaja ühistegureid seni, kuni jõutakse taandumatu murruni. ( taandatud esialgu 2-ga ja siis veel 2-ga) 2) Korraga, jagades lugeja ja nimetaja nende suurima ühisteguriga (taandatud 4-ga) Ülesanne
ga, 11-ga või 13-ga. 7) Arv jagub 8-ga ta lõpeb kolme 0-ga või tema kolmest viimasest numbrist moodustuv arv jagub 8-ga. 8) Arv jagub 9-ga tema ristsumma jagub 9-ga. 9) Arv jagub 10-ga ta lõpeb numbriga 0. 10) Arv jagub 25-ga ta kaks viimast numbrit on 0-d või moodustuvad arvu 25, 50 või 75. 9. Suurim ühistegur. 1) Antud arvude ühisteguriks nimetatakse sellist arvu, millega kõik antud arvud jaguvad. 2) Antud arvude suurimaks ühisteguriks(SÜT) nimetatakse suurimat arvu, millega jagub iga antud arv. 3) Arvud tuleb lahutada algteguriteks ja leida nende kõikide ühiste algtegurite korrutis. SÜT(126; 630; 540) = 2 3 3 = 18 126 2 630 2 540 2 63 3 315 3 270 2
Üldliikme valem ja rakendused. [17]. Lucas` arvud. [18]. Catalani arvud. [19]. Sündmused ja tõenäosus. Statistiline tõenäosus. Bernoulli suurte arvude seadus. [20]. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Sündmuste summa ja korrutis. [21]. Täistõenäosuse valem. Bayesi reegel. [22]. Bernoulli valem (k katse õnnestumine katsete üldarvu n korral). [23]. Kord- ja algarvud. Algarvude jaotus, algarvulisuse kontroll, Eratosthenese sõel. [24]. Naturaalarvude kanooniline kuju. Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne. [25]. Fermat teoreem. Pseudoalgarvud ja Carmichaeli arvud. [26]. Eukleidese algoritm. [27]. Lineaarsed diofantilised võrrandid. [28]. Täisarvude kongruentsid. Kongruentsi omadusi. [29]. Moodularitmeetika. [30]. Algarvulisuse Fermat` test. Miller-Rabini test. [31]. Graafid ja graafide omadused. Ahelad ja tsüklid graafis. [32]. Euleri graafid. Hamiltoni tsüklid. [33]. Puud. Puude omadused. [34]. Graafi vähima kaaluga aluspuud. [35]. Märgendatud puud
16 ja 36 on arvu 2 kordsed, sest nad jaguvad 2-ga 16 : 2 = 8 36 : 2 = 18 Kõik mingi arvu kordsed jaguvad selle arvuga. Arvu standarskuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegurist ja kümne mingist astmest. Arvu tegurid - kõik arvud, millega antud arv jagub, on selle arvu tegurid. Arvu tegurid on ühtlasi ka arvu jagajad. Näide 1. Arvu 10 tegurid on 1, 2, 5 ja 10, sest arv 10 jagub nende arvudega. 10 : 1 = 10 10 : 2 = 5 10 : 5 = 2 10 : 10 = 1 Näide 2. Arvude ühistegur : Arvutamisseadused : Liitmise vahetuvusseadus (kommutatiivsuse seadus), Liitmise ühenduvusseadus (assotsiatiivsuse seadus), Korrutamise vahetuvusseadus (kommutatiivsuse seadus), Korrutamise ühenduvusseadus (assotsiatiivsuse seadus), Korrutamise jaotuvusseadus (distributiivsuse seadus) , Korrutise jagamise seadus, Summa jagamise seadus, Jagatise põhiomadus . Nt. 1 Liitmise vahetuvusseadus : Summa ei muutu, kui muudame liidetavate järjekorda. 2+3=3+2=5 a+b=b+a Nt. 2
3 Determinantide omadused · Determinandi väärtus ei muutu, kui determinandi read kirjutada veergudena (järjekorda muutmata). · Kahe rea (või kahe veeru) vahetamisel muutub determinandi märk vastupidiseks. · Kui determinandi kaks rida (või kaks veergu) on võrdsed, siis on determinandi väärtus null. · Kui det ühte rida (või veergu) korrutada mingi arvga, siis korrutub determinant selle arvuga. Järeldus: kui determinandi mingi rea (veeru) elementidel on olemas ühistegur, siis võib selle teguri tuua determinandi ette. · Kui determinandi kahe rea (või veeru) vastavad arvud on võrdelised, siis on determinandi väärtus 0. 3.4.4 Kolme tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemid Kahe tundmatuga võrrandisüsteemi võtted kehtivad ka siin. 3.5 Murdvõrrandid Võrrandit, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas, nimetatakse murdvõrrandiks. Murd on võrdne nulliga parajasti siis, kui murru lugeja võrdub nulliga ja nimetaja on nullist erinev 3
sellepärast kutsutakse 2te Fermat’ valetajaks, sest nt 2 astmel 341 jagub 341-ga, 3e puhul see aga nii pole
DEF: Carmichaeli arv on paaritu kordarv, mis rahuldab Fermat’ teoreemi väidet iga aluse korral, mis on
selle kordarvuga ühistegurita (st on pseudoalgarv kõigil neil alustel).
nt 561 = 3x11x17 ehk ta on kordarv.
Fermat’ test: võtad suva a
/0 / &7 1 0 00 2 15 0 000 ' 0 00 0 00 3 3 0 000 4. Kui rea või veeru elementidel on ühistegur, võib selle tuua kogu determinandi teguriks /0 /0 /0 /0 /0 / 26 &13 39 2 &1 3 2 &1 1 00 2 7 15 00 ' 13 @ 00 2 7 15 00 ' 13 @ 3 @ 00 2 7 5 000 00 0 00 0 00 0
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
