üht maatriksit saab avaldada ülejäänute kaudu Baasimaatriksid k * = k max = mn Ak * +1 = a1 A1 + a2 A2 + ... + ak * Ak * (nxm) maatriksite hulgas leidub maksimaalselt mn lineaarselt sõltumatut mitte nullmaatriksit, nad moodustavad baasi, st kõik ülejäänud maatriksid on avaldatavad nende lineaarse kombinatsioonina Maatriksi astak Maatriksi astak r võrdub maatriksi lineaarselt sõltumatute reavektorite (veeruvektorite) maksimaalse arvuga. Ülejäänud reavektorid (veeruvektorid) avalduvad nende r vektori kaudu 1 0 ... 0 0 1 ... 0 En = R n× n ... ... ... ... 0 0 ... 1 Maatriksid Ruutmaatriksid m = n Peadiagonaal Diagonaalmaatriksid, Ühikmaatriksid det A = a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 -
m× n cA = c A = (cij ) R , kus cij = caij kõigi indeksite i ja j võimalike väärtuste korral. Maatriksi korrutamiseks arvuga c tuleb tema kõik elemendid läbi korrutada selle arvuga. 8. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks Maatriksi mille reavektoriteks on 1 , 2 ,..., m , korrutiseks maatriksiga mille veeruvektorid on 1 , 2 ,..., p , nimetatakse maatriksit kus i j tähistab vektorite i ja j skalaarkorrutist. Maatriksite korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel on järgmised: 1. maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne, s.t. leiduvad sellised maatriksid A ja B, et AB BA ; 2. maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, s.t. A (BC)= (AB) C alati, kui vaadeldavad maatriksid on korrutatavad; 3. liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega, s.t
..n-veeru indeks)kõigi (m*n) maatriksite hulk tähistatakse . Maatriksit A=aij - ruutmaatrikskui m=n ,eristatakse pea- ja kõrvaldiogonaale (a11,a12,a13...ann peadiogonaali elemendid) jan (a1n,a2n-1...an1 kõrvaldiogonaali elemendid). Diogonaalmaatriks on ruutmaatriks milles kõik elemendid mis ei ole peadiogonaalil on nullid(0) Maatriksi A=aij ridade elemente nimetatakse selle maatriksi reavektoriks (aritm. vektorid)=) , Maatriksi veeruvektorid on aritm.vektorid ) , Maatriksi lineaar tehete orrel kehtivad vektorruumide lin.tehete omadused,kui ja A=aij B=bij abc A+B=B+A, (A+B)+C=A+(B+C), A+==A, vastand maatriks B , nii et A+B=B+A=, (a+b)A=aA+bA, a(A+B)=aA+aB, (ab)B=A*(bB), 1A=A 7. Maatriksite korrutamine ja transponeerimine. Maatriksite ja korrutise leidmiseks esitatakse vastavalt reavektorite ja veeruvektorite kujul ( A= ja )korrutise leidmiseks kasutatakse skalaarkorrutist.
, M m mille reavektoriteks on 1 , 2 , ... , m , korrutiseks maatriksiga B = ( 1 2 K p ) n× p , mille veeruvektorid on 1 , 2 , ... , p , nimetatakse maatriksit 1 1 1 2 K 1 p 2 1 2 2 K 2 p AB = A B = m× p ,
.. = ann) Lineaarsed tehted maatriksitega A = ||aij|| Kmxn; B = ||bij|| Kmxn; c K 1. liitmine: A + B = ||cij|| Kmxn; cij = aij + bij i,j 2. skalaariga korrutamine: cA = ||dij|| Kmxn; dij = caij i,j Samad omadused kui vektorite korral, kus = A, = B, = C, V = Rnxm 7. Maatriksite korrutamine. Korrutamise omadused ja seos lineaarsete tehetega. A = ||aij|| Kmxn; B = ||bjk|| Knxp A reavektorid: 1 = (a11; a12; ...; a1n) Kn ... m = (am1; am2; ...; amn) Kn B veeruvektorid: 1 = (b11; b21; ...; bn1) Kn ... p = (b1p; b2p; ...; bnp) Kn AB = A*B = ||ik|| Kmxp; reavektorid: 1 = (11; 12; ...; 1p) Kn ... m = (m1; m2; ...; mp) Kp Maatriksite korrutamise omadused 1. maatriksite korrutamine pole kommutatiivne, st üldjuhul AB BA; kui AB = BA, siis öeldakse, et A ja B on kommuteeruvad 2. maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, st (AB)C = A(BC) 3. maatriksite korrutamise suhtes leiduvad ühepoolsed ühikud. (Kehtib omadus A kuulub Kmxn => EmA = AEn = A) 4
7. korrutis B3 x 5 A2 x 3 ei eksisteeri, kuna maatriksi B veergude arv (5) ei võrdu maatriksi A ridade arvuga (2). Märkus 2: korrutise AB tulemuseks on maatriks, mille ridade arv võrdub "esimese" maatriksi (A) ridade arvuga ja veergude arv "teise" maatriksi (B) veergude arvuga Näide 5: korrutise A2 x 3 B3 x 5 tulemuseks on maatriks, millel on 2 rida ja 5 veergu. Tähistame maatriksi Am x n reavektorid i ( i = 1, ..., m) ning maatriksi Bn x p veeruvektorid j ( j = 1, ..., p). Definitsioon 4. Maatriksite Am x n ja Bn x p korrusitesks nimetatakse maatriksit AB = (i j) = Cm x p , mille elementideks cij on vektorite i ja j skalaarkorrutised cij = i j (maatriksi A reavektorite i ja maatriksi B veeruvektorite j vastavate elementide korrutiste summa). Maatriksite korrutamise reegel on lühidalt esitatav kujul RIDA × VEERG
Märkus 2: korrutise AB tulemuseks on maatriks, mille ridade arv võrdub "esimese" maatriksi (A) ridade arvuga ja veergude arv "teise" maatriksi (B) veergude arvuga Näide 5: korrutise A2 x 3 B3 x 5 tulemuseks on maatriks, millel on 2 rida ja 5 veergu. -3- Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina Tähistame maatriksi Am x n reavektorid i ( i = 1, ..., m) ning maatriksi Bn x p veeruvektorid j ( j = 1, ..., p). Definitsioon 4. Maatriksite Am x n ja Bn x p korrusitesks nimetatakse maatriksit AB = (i j) = Cm x p , mille elementideks cij on vektorite i ja j skalaarkorrutised cij = i j (maatriksi A reavektorite i ja maatriksi B veeruvektorite j vastavate elementide korrutiste summa). Maatriksite korrutamise reegel on lühidalt esitatav kujul RIDA × VEERG
0 0 &2 0 0 5 Diagonaalmaatriksi korral aij ' 0 , kui i ... j . Reavektor on maatriksi ühe rea elementidest moodustatud vektor. Veeruvektor on maatriksi ühe veeru elementidest moodustatud vektor. 2 7 1 Näiteks maatriksi 4 5 12 2 7 1 reavektorid on (2 7 1) ja (4 5 12) ning veeruvektorid on , ja . 4 5 12 ÜLESANDED 8.1 On antud maatriksi elemendid a11 = 6; a21 = 4; a32= 5; a13 = 3; a23 = 6; a12 = 10; a22 = 7; a31=-5; a33= 9. Kirjutada välja vastav maatriks. 8.2 Firma AUVI tegeleb audio- ja videotehnika müügiga. Kuu algul oli firmal on kaupa kolmes laos järgmistes kogustes: laos
annaabi.ee 
