taarfunktsioonidest y = 2x , y = arccos x, y = 3, y = tan x, y = x2 , y = 4 ja y = x1/2 l~ opliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamisega. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka pol¨unoomid ja ratsionaalfunkt- sioonid. n- astme pol¨ unoom on defineeritud avaldisega P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an-1 xn-1 + an xn , kus a0 , a1 , a2 , . . . , an-1 , an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe pol¨ unoomi jagatis a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an-1 xn-1 + an xn R(x) = . b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bm-1 xm-1 + bm xm K~oik funktsioonid ei ole elementaarfunktsioonid. Selle kohta saab tuua u ¨sna lihtsaid n¨aiteid. N¨aiteks ei ole elementaarfunktsioon nn Heaviside'i funktsioon, mis on defineeritud j¨argmise eeskirjaga: {
x y = x1/2 l~opliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamisega. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka pol¨unoomid ja ratsionaalfunkt- sioonid. n- astme pol¨ unoom on defineeritud avaldisega P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an-1 xn-1 + an xn , kus a0 , a1 , a2 , . . . , an-1 , an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe pol¨ unoomi jagatis a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an-1 xn-1 + an xn R(x) = . b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bm-1 xm-1 + bm xm K~oik funktsioonid ei ole elementaarfunktsioonid. Selle kohta saab tuua u ¨sna lihtsaid n¨aiteid. N¨aiteks ei ole elementaarfunktsioon nn Heaviside'i funktsioon, mis on defineeritud j¨argmise eeskirjaga: 1 kui x 0,
Maatriks A-n defineeritakse valemiga A-n := (A-1 )n = A-1 A-1 · · · A-1 n korda Kui n = 0, siis A0 := I. 7.2 Maatrikspolu ¨ noom Avaldist p(A) := a0 I +a1 A + · · · + an An kus n on mittenegatiivne t¨aisarv, nimetatakse maatrikspol¨ unoo- miks. Samuti ¨oeldakse, et p(A) on pol¨ unoomi p(x) := a0 + a1 x + · · · + an xn v¨a¨artus kohal A. 7.3 Maatriksastmeread Olgu antud (koonduv) astmerida f (x) = an xn , |x| < r (koonduvusraadius) n=0 Sellele reale seame vastavussse maatriksastmerea f (x) = an An n=0
Nende seoste t~ottu saame valemist (6.49) v~orduse rot F (P ) = 0. Seega v~oib v¨ aita, et potentsiaalne v¨ ali on keerisevaba. 24) Tuletada kahemuutuja funktsiooni Taylori polünoomi valem n=3 korral. Esitada vastav valem suvalise n korral. Teeme selle protseduuri l¨abi nt n = 3 korral. Loeme muutuja y fikseerituks ja kirjutame v¨alja muutujast x s~oltuva funktsiooni f Taylori pol¨ unoomi punktis a: 1 2 2 1 3 f (a, y) + f (a, y)(x - a) + f (a, y)(x - a) + f (a, y)(x - a)3 . (6.59) x 2! x2 3! x3 2 3 Siin esineb 4 argumendi y funktsiooni: f (a, y), x f (a, y), x 2 f (a, y) ja x3 f (a, y). Asendame need funktsioonid oma Taylori pol¨ unoomidega punktis b
aritmeetilisi operatsioone (liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine) ja liitfunkt- siooni moodustamist. Definitsioon 2. Funktsiooni Pn (x) = a0 xn + a1 xn-1 + . . . + an-1 x + an (a0 = 0), kus a0 , a1 , . . . , an-1 , an on konstandid ja n N ning x on muutuja, nimetatakse n-astme pol¨ unoomiks ehk t¨ aisratsionaalseks funktsiooniks. Konstante a0 , a1 , . . . , an nimetatakse pol¨ unoomi kordajateks ja arvu n pol¨ unoomi astmeks. Algebra p~ ohiteoreem. Igal komplekssete kordajatega n-astme pol¨ unoomil Pn (x) on t¨apselt n kompleksset nullkohta (kordsed nullkohad kaasa arvatud) x1 , x2 , . . . , xn . Lause 1. Kui kompleksarv x1 = + i on reaalsete kordajatega n-astme pol¨ unoomi Pn (x) (n 2) nullkohaks, siis on selle pol¨ unoomi nullkohaks ka arvu x1 kaaskomplek- sarv x1 = - i. Lineaartegurite x - ( + i) ja x - ( - i) korrutis on reaalsete
8) Seda hulkliiget nimetatakse funktsiooni f (x) Taylori pol¨ unoomiks punkti a u ¨mbruses v~oi funktsiooni f (x) Taylori pol¨ unoomiks x - a astmete j¨argi. x - a f (k) (a) astmete kordajaid (k = 0, 1, 2, . . . , n nimetatakse funktsiooni f (x) k! Taylori kordajateks. N¨aide 1. Arvutame 1, 2 eimese, teise, kolmanda ja neljanda astme Taylori pol¨ unoomi abil. Taskuarvuti abiga 1, 2 = 1, 095445115. Siin f (x) = x, a = 1, x = 1, 2 ja x-a = 0, 2. Arvutusteks leiame f (1) = 1 1 1 1 = 1, funktsiooni tuletise f (x) = x- 2 , millest f (1) = , teise tuletise 2 2 1 -3 1 3 5
annaabi.ee 
