asuva punkti (a, b) kaugust nullpunktist. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kaaskompleksarv Definitsioon Kompleksarvu z = a + bi kaaskompleksarvuks nimetatakse kompleksarvu z¯ = a − bi. Kaaskompleksarv z¯ asub arvuga z nullpunktist v˜ ordsel kaugusel ning z ja z¯ on s¨ ummeetrilised reaaltelje suhtes. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Tehted kompleksarvudega Olgu meil antud kaks kompleksarvu z1 = a + bi ja z2 = c + di. Siis nende v˜ordus, summa, vahe, korrutis ja jagatis defineeritakse j¨argmiselt: Teist ja kolmandat j¨
(1.10) Kalds¨ ummeetrilise maatriksi korral valemist (1.10) me i = j korral saame aii = -aii aii = 0, i Nn . Seega on kalds¨ ummeetrlise maatriksi nn. peadiagonaali elemendid a11 , a22 , ..., ann nullid. N¨aiteks maatriksid 1 2 -1 A = 2 3 0 , B = (1000) -1 0 -5 on s¨ ummeetrilised, aga maatriksid 0 1 -5 0 -1 A = -1 0 -3 , B= 1 0 5 3 0 kalds¨ ¨ ummeetrilised. Uhikmaatriks on s¨ ummeetriline, sest E = E. Samas n-j¨arku nullmaatriks on samaaegselt nii s¨ummeetriline kui ka kalds¨um-
(1.10) Kalds¨ ummeetrilise maatriksi korral valemist (1.10) me i = j korral saame aii = −aii ⇐⇒ aii = 0, ∀ i ∈ Nn . Seega on kalds¨ ummeetrlise maatriksi nn. peadiagonaali elemendid a11 , a22 , ..., ann nullid. N¨aiteks maatriksid 1 2 −1 A = 2 3 0 , B = (1000) −1 0 −5 on s¨ ummeetrilised, aga maatriksid 0 1 −5 0 −1 A = −1 0 −3 , B= 1 0 5 3 0 kalds¨ ¨ ummeetrilised. Uhikmaatriks on s¨ ummeetriline, sest E = E. Samas n-j¨arku nullmaatriks θ on samaaegselt nii s¨
a = (1, 2, 3, 4) Mat1 × 4 3 Mat4 × 1 4 (aT )T = (1, 2, 3, 4) = a Mat1 × 4 12 II. Maatriksarvutus 4.2 Su ¨ mmeetria ja antisu ¨ mmeetria Maatriksit A nimetatakse s¨ummeetriliseks, kui AT = A, ning an- ummeetriliseks, kui AT = -A. tis¨ T¨ ahelepanek Nii s¨ ummeetrilised kui ka antis¨ ummeetrilised maatriksid on ruut- maatriksid. Antis¨ ummeetrilise maatriksi peadiagonaalil asetsevad nullid. N¨ aide Selles n¨aites on A s¨ ummeetriline ja B antis¨ ummeetriline maatriks 3 1 -1 3 1 -1 A= 1 3 2 = AT = 1 3 2 = A -1 2 1 -1 2 1
G x Joonis 1.3 Kui aga p¨o¨ordfunktsiooni x = g(y) avaldises muutujate x ja y kohad va- hetada, st esitada ta kujul y = g(x), siis selle funktsiooni graafik peegeldub u ¨le sirge y = x. Seega on funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud s¨ ummeetrilised sirge y = x suhtes (joonis 1.3). 9 Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. J¨atkame eelmises paragrahvis alustatud p~ohiliste elementaarfunktsioonide loetelu m~onede oluliste p¨o¨ordfunkt- sioonidega. Logaritmfunktsioon. Suvaline x-teljega paralleelne sirge l¨abib eksponentfunktsiooni y = ax graafikut maksimaalselt u¨hes punktis (vt joonised 1.4, 1.5). Seega on eksponentfunktsioon u
G x Joonis 1.3 Kui aga p¨o¨ordfunktsiooni x = g(y) avaldises muutujate x ja y kohad va- hetada, st esitada ta kujul y = g(x), siis selle funktsiooni graafik peegeldub u ¨le sirge y = x. Seega on funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud s¨ ummeetrilised sirge y = x suhtes (joonis 1.3). 9 Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. J¨atkame eelmises paragrahvis alustatud p~ohiliste elementaarfunktsioonide loetelu m~onede oluliste p¨o¨ordfunkt- sioonidega. Logaritmfunktsioon. Suvaline x-teljega paralleelne sirge l¨abib eksponentfunktsiooni y = ax graafikut maksimaalselt u ¨hes punktis (vt joonised 1.4, 1.5). Seega on eksponentfunktsioon u
Joonis 1.8: funktsioon y = sin x Paarituteks funktsioonideks on y = x3 , y = sin x ja y = tan x. Nende funkt- sioonide graafikud on esitatud vastavalt joonistel 1.7, 1.8 ja 1.9. Kui mis tahes paaritu funktsiooni graafikule kuulub punkt (x; f (x)), siis definitsioonis esitatud tingimuse kohaselt kuulub sellele ka punkt (-x; -f (x)). Need kaks punkti paiknevad s¨ ummeetriliselt koordinaatide alguspunkti suh- tes. Seega on k~oikide paaritute funktsioonide graafikud s¨ummeetrilised koor- dinaatide alguspunkti suhtes. 1+x N¨aide 1.8. Uurime, kas funktsioon y = ln on paaris v~oi paaritu. 1-x -1 1+x 1-x 1+x T¨ahistame f (x) = ln ja leiame f (-x) = ln = ln =
annaabi.ee 
