..) vaheliseks kauguseks nimetatakse reaalarvu d ( P1 , P2 ) = ( x1 - x2 ) 2 + ( y1 - y2 ) 2 + ( z1 - z 2 ) 2 + ... . Punkti -ümbrus: Olgu mingi arv. Punkti P0 = ( x0 , y0 , z 0 ,...) -ümbruseks U ( P0 ) nim. kõigi selliste punktide P = ( x, y , z ,...) hulka, mille kaugused punktist P0 on väiksemad kui , s.t d ( P, P0 ) = ( x - x0 ) 2 + ( y - y0 ) 2 + ( z - z0 ) 2 + ... < . Hulga sisepunkt: Punkti P0 D nim. hulga D sisepunktiks kui leidub punkti P0 selline -ümbrus, mis kuulub hulka D, s.t U ( P0 ) D . Hulga rajapunkt: Punkti P0 nim. hulga D rajapunktiks, kui igas punkti P0 -ümbruses leidub nii hulga D punkte kui ka punkte, mis ei kuulu hulka D, s.t > 0 U ( P0 ) D U ( P0 ) D . Hulga raja: Hulga D kõigi rajapunktide hulka nim. hulga D rajaks. Lahtine hulk: Hulka D nim. lahtiseks kui kõik tema punktid on sisepunktid. Kinnine hulk: Hulka D nim. kinniseks kui hulka D kuuluvad ka kõik tema rajapunktid.
R 1 = R - arvsirge d (P, Q ) = x - y B( A, r ) = (a - r , a + r ) - vahemik R 2 - koordinaattasand d (P , Q ) = (x1 - y1 )2 + (x 2 - y 2 )2 B( A, r ) = {P R 2 : d 2 (P, A) < r 2 } Fikseerime punkti A = ( x1 ,..., x m ) R m ja reaalarvu > 0 . Def. Punkti A R m ümbruseks nimetatakse hulka U ( A) = B( A, ) . Öeldakse ka punkti -ümbrus ning kirjutatakse U ( A) . Def. Punkti P R m nimetatakse hulga D R m sisepunktiks, kui leidub ümbrus U (P ) D . Def. Punkti Q R m nimetatakse hulga D R m rajapunktiks, kui iga selle punkti ümbrus U (Q ) sisaldab nii hulka D kuuluvaid kui ka sinna mittekuuluvaid punkte. Def. Hulga D R m rajaks D nimetatakse selle hulga kõigi rajapunktide hulka. Raja nimetatakse sirgel rajapunktideks, tasandil rajajooneks ning ruumis rajapinnaks. Def. Hulka D R m nimetatakse lahtiseks, kui kõik tema punktid on sisepunktid. Def
¨ Uhem~ o~otmeline lahtine kera keskpunktiga a ja raadiusega r on vahemik (a - r, a + r). Vastav kinnine kera on l~oik [a - r, a + r]. Kahem~o~ otmeline lahtine kera on ring ilma ringjooneta ja kinnine kera on ring koos ringjoonega. Kolmem~o~otmeline lahtine kera on kera ilma sf¨a¨ arita ja kinnine kera on kera koos sf¨ a¨ariga. Hulga sise- ja rajapunktid. Olgu G ruumi Rm alamhulk. Punkti A nimetatakse hulga G sisepunktiks, kui leidub punkti A u ¨mbrus, mille k~oik punktid kuuluvad hulka G. Punkti A nimetatakse hulga G rajapunktiks, kui tema suvalises u ¨mbruses leidub punkte, mis kuuluvad hulka G ja punkte, mis ei kuulu hulka G. Sise- ja rajapunktide hulgad ei oma u ¨hisosa. Teiste s~onadega: u¨ks ja sama punkt A ei saa olla hulgale G samaaegselt nii sise- kui ka rajapunkt. K~oik hulga G sisepunktid sisalduvad hulgas G. Hulga G rajapunktide seas
arv, nimetatakse arvu (ehk punkti) a δ-ümbruseks. Arvu δ nimetatakse seejuures ümbruse Uδ (a) raadiuseks. Igal punktil a ∈ R on lõpmata palju ümbrusi, s.h. kuitahes väikese raadiusega. Sellest tuleneb, et , teisisõnu, kui mingi arv x kuulub punkti a igasse ümbrusse, siis x = a Defineerida alamhulga X ⊂ R sisepunkti mõiste, kirjeldada vahemikku, poollõigu ja lõigu sisepunktide hulka. Punkti a ∈ X nimetatakse hulga X ⊂ R sisepunktiks, kui leidub selline δ > 0, et Uδ (a) ⊂ X. Hulga X kõigi sisepunktide hulka tähistame Xo. Kõik vahemikud (a, b) ja tõkestamata intervallid (−∞, b), (a,∞) ja (−∞,∞) koosnevad ainult sisepunktidest, niisiis, X = Xo, kui X on üks neist intervallidest. Seevastu kõigi naturaalarvude hulgal N ei ole ühtegi sisepunkti, s.t. No = ∅. Tuua 2 näidet reaalarvude hulkadest, millel pole sisepunkte Kõigi naturaalarvude hulgal N Hulk F = [0, 1] E, E ⊂ [0, 1] 6
X. 2.11 N¨aidata, et normeeritud ruumi X iga l˜oplikum˜o˜otmeli- ne alamruum on kinnine hulk ruumis X. 2.12 N¨aidata, et kui topoloogiline ruum X rahuldab esimest loenduvuse aksioomi, siis tema igal punktil x leidub selline ¨mbruste baas {U1 , U2 , U3 , . . . }, et U1 ⊃ U2 ⊃ U3 ⊃ . . . . u 3 SISEMUS JA SULUND 3.1 Hulga sisemus Olgu X mis tahes topoloogiline ruum. Definitsioon 3.1 Punkti x ∈ X nimetatakse hulga A ⊂ ¨mbrus U ∈ X sisepunktiks, kui leidub punkti x selline u U(x), et U ⊂ A. Definitsioon 3.2 Hulga A k˜oigi sisepunktide hulka nime- tatakse hulga A sisemuseks. 0 Hulga A sisemust t¨ahistatakse A = int(A). Definitsiooni 0 kohaselt A ⊂ A. N¨ aide 3.1 Kui hulk A on lahtine ruumis X, siis int(A) = A. aide 3.2 L˜oigu [a; b] ⊂ R = X sisemus on ]a; b[. N¨ Teoreem 3.10 Olgu A, B ∈ X. Siis kehtivad omadused:
Neid nelja hulka nimetame tõkestamata intervallideks, neile lisandub (−∞, ∞) := R. Definitsioon. Olgu ε > 0. Reaalarvu (ehk punkti) a ∈ R puhul nimetatakse tema ε-ümbruseks (ε-neighbourhood, ε-окрестность) alamhulka Uε (a) := {x ∈ R | |x − a| < ε} . Lause 1.27 põhjal Uε (a) = (a − ε, a + ε) (veenduda!)z. Definitsioon. Alamhulga X ⊆ R punkti x nimetatakse tema sisepunktiks (interior point, внутренная точка), kui leidub selline δ > 0, et ümbrus Uδ (x) sisaldub hulgas X, s.t. (x − δ, x + δ) ⊆ X. Hulga X kõigi sisepunktide hulka nimetame tema sisemuseks ning tähistame X o . 1.5.4 Hulga R mitteloenduvus Kõigepealt tõestame ühe tõkestatud intervallidega seotud väite. Lause 1.29 Kui [an , bn ], kus n ∈ N, on sellised lõigud, et [a1 , b1 ] ⊇ [a2 , b2 ] ⊇ . . . ⊇ [an , bn ] ⊇ . . . ,
annaabi.ee 
