(z, x) ∈ (R ◦ S)−1 ⇔ (x, z) ∈ (R ◦ S) ⇔ ⇔ leidub y, et (x, y) ∈ R ja (y, z) ∈ S ⇔ ⇔ leidub y, et (y, x) ∈ R−1 ja (z, y) ∈ S−1 ⇔ ⇔ (z, x) ∈ S−1 ◦ R−1 25 Kui alustada selle samaväärsuste ahela lugemist algusest, siis saame tõestuse, et (R◦ S)−1 ⊆ S−1 ◦R−1. Liikudes aga ahelas lõpust algusesse, saame teistpidi sisalduvuse S−1◦R−1 ⊆ (R◦S)−1.Mõlematpidi sisaldumisest aga järeldubki hulkade võrdsus. o Niiviisi kõiki võimalusi läbi vaadates leiame R ◦ S = {(a, α), (a, β), (b, α), (b, β), (c, γ)}. DEF: Kompositsiooni pöördrelatsioon on relatsioon hulkade Z ja X vahel ja koosneb samadest paaridest, ainult vastupidises järjekorras: (R ◦ S)−1 = {(α, a), (β, a), (α, b), (β, b), (γ, c)}. Kompositsiooni seosed ühendiga o Teoreem
.., zn nii, et z0 = x, zn = y ja iga i = 0, 1, ..., n 1 korral (zi, zi+1) R. Graafide terminites tähendab teoreem: (x, y) Rn relatsiooni R graafis leidub selline suunatud ahel pikkusega n, mille esimene element on x ja viimane element y. e. **Tõestus. https://moodle.ut.ee/mod/url/view.php?id=107318 lk 101 102. 29) a. Def. Relatsiooni R sulundiks vaadeldava omaduse suhtes nimetatakse (sisalduvuse mõttes) vähimat relatsiooni, mis sisaldab R ja millel on vaadeldav omadus. b. Refleksiivsel relatsioonil puudub antirefleksiivne sulund. Antisümmeetrilisele relatsioonile leidub sümmeetriline sulund. c. Transitiivne sulund on vähim transitiivne relatsioon, mis sisaldab antud relatsiooni, tähistus R+. d. Refleksiivne transitiivne sulund on vähim antud relatsiooni sisaldab
2. MALTSPUIDULISED lehtpuud: lepp, kask, haab, sanglepp, vaher. 3. KÜPSEPUIDULISED maltspuit + küpsepuit, lülipuit on hele: pöök. Eksootilised puidud: merbau (punakas), venge (tumepruun) *Orgaaniline osa koosneb: süsinik, vesinik, hapnik, lämmastik (+ mineraalained) PUIDU OMADUSED: *VÄRVUS helekollakas valge kuni tumepruun. *TEKSTRUUR e. muster oleneb kuidas on kevad ja sügispuit, oksad. Lehtpuud on looklevama tekstuuriga *NIISKUS sisalduvuse järgi jagatakse puit: 1. Toorespuit 35% kaalust 2. Poolkuiv 20 25 % kaalust 3. Õhukuiv 1520 % kaalust 4. Toakuiv 8 13 % kaalust Standartne niiskus 15 %. Erinevad puidu näitajad antakse ka sealjuures (paisumine, kuivamisel kahanemine). Kõige väiksem kahanemine pikikiudu 0,1 0,3 %. Radiaalsuunaline (läbilõikes) 3 6 %. Tangensiaalsuunaline 6 10 %.
2. massiiv ise ei toeta elemendi lisamist ja kustutamist. · Massiiv on staatiline andmestruktuur 1. mälukasutus on staatiline: mälu eraldatakse vaid korra (maksimaalne elementide arv on fikseeritud); eraldatud mälu maht on kindel suurus; 2. sisemine struktuur on fikseeritud ja ei muutu töö käigus; Dünaamilised andmestruktuurid - Muutuva suurusega; Võimaldavad elemente lisada ja eemaldada; Võimaldavad teha päringuid suuruse (elementide arvu), konkreetse elemendi sisalduvuse kohta Põhitüübid: 1. list (list) 2. magasin (stack) 3. järjekord (queue) 4. kuhi (heap) 5. puu (tree) 6. graaf (graph) List - list, loend, nimistu(, ahel) · Listis on andmeelemendid kindlas järjekorras · Võimalikud tegevused 1. elemendi võtmine 2. elemendi lisamine 3. elemendi eemaldamine 4. leida, mitu elementi on listis 5. teha kindlaks, kas antud element on listis 6
J¨arelikult x ∈ int(A), x ∈ int(B) ja x ∈ int(A) ∩ int(B). Seega int(A ∩ B) ⊂ int(A) ∩ int(B). Oletame, et x ∈ int(A) ∩ int(B). Siis x ∈ int(A), x ∈ int(B) ja leiduvad punkti x sellised u¨mbrused ¨ U ja V , et U ⊂ A ja V ⊂ B. Umbruste U ja V u ¨hisosa W = U ∩ V on j¨alle punkti x u ¨mbrus, kusjuures W ⊂ A ∩ B. Seega x ∈ int(A∩B). J¨arelikult int(A)∩int(B) ⊂ int(A∩B) ning eelpool saadud vastupidise sisalduvuse t˜ottu int(A∩B) = int(A) ∩ int(B). 3.2 Hulga sulund Definitsioon 3.3 Punkti x ∈ X nimetatakse hulga A ⊂ X puutepunktiks, kui punkti x igas u¨mbruses U leidub hulga A punkte, st U ∩ A = ∅. Definitsioon 3.4 Hulga A ⊂ X k˜oigi puutepunktide hulka nimetatakse selle hulga sulundiks. Hulga A sulundit t¨ahistatakse A = cl(A). Et iga punkt x ∈ A sisaldub igas oma u ¨mbruses U , siis U ∩ A = ∅ ja A ⊂ cl(A). N¨aide 3
(2, 2) . Seos R2 (1,1) paari ei ole samas ka irrefleksiivne, sest ta sisaldab paare ja (3, 3) . Näide: · Seos < reaalarvude hulgal R on irrefleksiivne, antisümmeetriline ja transitiivne. Seos hulgal R on refleksiivne, antisümmetriline ja transitiivne. · Vaatleme hulga E kõikide osahulkade hulka X =P (E) ja sisalduvuse seost hulgal X . See seos on refleksiivne, antisümmetriline ja transitiivne. Pöördseose mõiste Definitsioon Seose RA×B pöördseoseks nimetatakse seost R-1 B × A , mis määratakse -1 -1 samaväärsusega b R a aRb ehk R ={(b , a) :(a , b) R } . Märkused Igal seosel on olemas pöördseos. -1 -1 On lihtne näha, et (R ) =R . Näide:
Teoreem 1.8 On olemas täielik järjestatud korpus F . Tõestus. Olgu F kõigi ratsionaalarvude hulga Q selliste alamhulkade A hulk, mis rahuldavad tingi- musi (a) kui q ∈ A ja p < q, siis p ∈ A, (b) hulgas A ei ole suurimat elementi, (c) A 6= ∅, A 6= Q. Iga q ∈ Q puhul tähistame q := {p ∈ Q : p < q}, vahetu kontroll näitab, et q ∈ F ning kujutus T : Q → F, q 7→ q, on üksühene. Seega Q ⊆ F , selle sisalduvuse all mõistame tegelikult sisalduvust {q : q ∈ Q} ⊆ F. Märgime, et iga A ∈ F on järjestatud korpuses Q ülalt tõkestatud alamhulk, olgu à hulga A kõigi ülemiste tõkete hulk, millest on välja jäetud vähim ülemine tõke, kui see eksisteerib. Seejuures omab A vähima ülemise tõkke parajasti siis, kui A = q mingi q ∈ Q korral. Defineerime hulgas F järjestuse seosega
riigieelarvet. Seadlusi võib anda üksnes erakorralistes oludes kui Riigikogu ei saa kokku tulla ja selleks on edasilükkamatud riiklikud vajadused. Seadlus on seadus materiaalses mõttes (st sisaldab õigusnorme). o Määrused eksekutiivorgani poolt välja antud õigusakt (vorm), mis sisaldab õigusnorme jällegi materiaalsed seadused. Kuna EV pole sätestanud õigusnormi sisalduvuse kohustuslikkust, siis leidub ka neid määrusi, mis pole õigusallikad. Määruste osas tuleb teha erinevate liikide vahel Riigimäärused - nendega teostatakse riigi põhifunktsioone. Eelkõige annavad neid välja valitsus ja ministrid (portfellita ministrid määrusi anda ei saa tuleneb PS § 94). Küsimus kas parlament võib volitada teisi institutsioone andma määrusi ei saa, va juhul kui PS seda volitab
annaabi.ee 
