b1 , a2 = b2 , . . . , am = bm . Nullpunktiks ehk koordinaatide alguspunktiks ruumis Rm nimetatakse punkti O = (0, 0, . . . , 0). Kaugus ruumis Rm . Olgu ruumis Rm antud kaks punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ). Defineerime A ja B vahelise kauguse j¨argmise valemiga: |AB| = (a1 - b1 )2 + (a2 - b2 )2 + . . . + (am - bm )2 . (6.1) ¨ Uhe- kahe- ja kolmem~o~otmelisel juhul v~ordub valemiga (6.1) antud kaugus punk- tide A ja B vahele t~ommatud sirgl~oigu pikkusega. Kauguse omadused. 1. A = B siis ja ainult siis kui |AB| = 0. 2. |AB| = |BA|. 3. |AB| |AC| + |CB|. Parameetrilised jooned ruumis Rm . Olgu l~oigul [T1 , T2 ] antud m funkt- siooni x1 = 1 (t), x2 = 2 (t), . . . , xm = m (t). Vaatleme nende funktsioonide v~orranditest moodustatud s¨ usteemi x1 = 1 (t) x2 = 2 (t)
Eeldame, et f(x) on diferentseeruv. Jaotame l~oigu [a, b] osal~oikudeks punktidega a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b (joonis 5.8). T.ahistame xi = xi - xi-1 , yi = f(xi) - f(xi-1) Vaatleme osal~oigu [xi-1, xi] kohale j.a.avat joone osakaart li. See osakaar on suurendatult kujutatud joonisel 5.9. Kuna f(x) on eelduse kohaselt diferentseeruv, on vaadeldav joon sile. Sile joon on aga sirgestuv (st suurendamisel muutub "sirgemaks"). J.arelikult on v.aikese xi korral osakaar li ligikaudselt sirgl~oik ja joonisel 5.9 on ligikaudne t.aisnurkne kolmnurk. Seega v~oime me li pikkuse arvutamisel kasutada Pythagorase teoreemi. T.ahistades li pikkuse samuti li-ga saame li (xi)^2 + (yi)^2 Edasi avaldame selles valemis esineva funktsiooni muudu yi argumendi muudu xi kaudu. Selleks sobib kasutada Lagrange'i teoreemi (vt §3.9). Nimetatud teoreemi p~ohjal leidub vahemikus (xi-1, xi) punkt pi nii, et kehtib v~ordus f(xi) - f(xi-1) = f(pi)(xi - xi-1) . Seega yi = f(pi)xi ja valemit (5
Pk-1 yk-1 Pk yk A a xk-1 xk x b Joonis 5.15. K~overjoon ja sellesse joonestatud murdjoon ¨ st xk = xk - xk-1 > 0. Uhendame punktid Pk-1 ja Pk (k = 1, 2, . . . , n) sirgl~oikudega. Nii tekib murdjoon P0 P1 . . . Pk-1 Pk . . . Pn . T¨ahistades murd- joone k-nda l¨uli pikkuse sk , saame murdjoone pikkuseks summa n sk . (5.10) k=1 Piirprotsess max sk 0 kindlustab murdjoone k~oikide l¨ ulide pikkuste 1kn l¨ahenemise 0-le.
¨heveerulised maatriksid elementidega korpusest K. Aritmeetilised vektorruumid on Kn := Mat1 × n (K) = {(x1 , . . . , xn )|xi K} reavektorite ruum n K := Matn × 1 (K) = {(x1 , . . . , xn )T |xi K} veeruvektorite ruum Tehted aritmeetiliste vektoritega toimuvad maatriksarvutuse reeg- lite kohaselt. 2.6 N¨ aide: geomeetrilised vektorid Geomeetriline vektor on suunatud sirgl~ oik. Vektorite liitmine defi- neeritakse r¨o¨opk¨ uliku reegliga. Korrutamine arvuga defineeritakse l~oigu pikendamise v~oi l¨ uhendamise teel ja negatiivsete arvude kor- ral veel lisaks suuna muutmisega vastupidiseks. 4 V. Vektorruumid 2.7 N¨ aide: l~ oigus pidevate funktsioonide ruum Olgu C[a, b] k~oigi l~
piirsirged. Sellisel juhul ei ole ka funktsiooni tuletis f (a) argumendi v¨a¨artusel x = a m¨a¨aratud. Seega v~oib ¨oelda, et argumendi v¨ a¨ artusel x = a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A = ousunurk ei ole 2 . (a, f (a)) sile joon, mille puutuja t~ ¨ Oeldut illustreerib joonis 3.5. Punktides A1 ja A2 on joon sile, seal on tema puu- tujad u ¨heselt m¨a¨ aratud (joonisel kujutatud pidevate sirgl~oikudega). Puutujate ousunurgad erinevad 2 -st, j¨arelikult on funktsioonil f argumendi v¨a¨artustel t~ x = a1 ja x = a2 olemas l~oplikud tuletised. Seevastu punktis A3 joon murdub. Punktiiriga on kujutatud l~oikajate piirsirged m~olemapoolsel l¨ahenemisel A3 -le. Need on erinevad, seega ei ole puutuja m¨a¨aratud. Argumendi v¨a¨artusel x = a3 funktsiooni tuletis puudub. yy y = f (x)
piirsirged. Sellisel juhul ei ole ka funktsiooni tuletis f (a) argumendi v¨a¨artusel x = a m¨a¨aratud. Seega v~oib ¨oelda, et argumendi v¨ a¨ artusel x = a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A = ousunurk ei ole 2 . (a, f (a)) sile joon, mille puutuja t~ ¨ Oeldut illustreerib joonis 3.5. Punktides A1 ja A2 on joon sile, seal on tema puu- tujad u¨heselt m¨a¨aratud (joonisel kujutatud pidevate sirgl~oikudega). Puutujate t~ousunurgad erinevad 2 -st, j¨arelikult on funktsioonil f argumendi v¨a¨artustel x = a1 ja x = a2 olemas l~oplikud tuletised. Seevastu punktis A3 joon murdub. Punktiiriga on kujutatud l~oikajate piirsirged m~olemapoolsel l¨ahenemisel A3 -le. Need on erinevad, seega ei ole puutuja m¨a¨aratud. Argumendi v¨a¨artusel x = a3 funktsiooni tuletis puudub. yy y = f (x)
annaabi.ee 
