Def.10 Öeldakse, et fun z=f(x,y) on diferentseeruv kohal P=(x,y) kui tema muudul f on kuju f=Ah+Bk+ T.6. Kui fun on diferentseeruv kohal P=(x,y) siis on ta pidev sellel kohal. T.7. Kui fun on diferentseeruv kohal P=(x,y) siis on tal olemas osatuletised f'x(P) ja f'y(P) sellel kohal. Tõestus: Eelduse kohaselt kehtivad lim(h,k)-(0,0)/(h2+k2)1/2=0 ja f=Ah+Bk+=0... T.8. Kui funil z=f(x,y) on kohal P=(x,y) pidevad osatuletised f'x(P) ja f'y(P) siis on see fun diferentseeruv kohal P. T.9. Kui segatuletised on piddevad kohal P=(x,y) siis on nad võrdsed sellel kohal, st kehtib f''xy=f''yx T.10. Kui funi z=f(x,y) osatuletised f'x(P) ja f'y(P) on mõlemad diferentseefuvad kohal P=(x,y) siis on segatuletised võrsed (f''xy=f''yx) kohal P=(x,y) T.11. Kui funidel u ja v on olemas osatuletised u'x (u'y)ja v'x (v'y) kohal P=(x,y) ja kui fun f on diferentseeruv vastaval kohal Q=(u(P);v(P)) siis on liitfunil F olemas osatuletis F'x (F'y) kohal P, mis on kujul F' x=f'u*u'x+f'v*v'x (F'y=f'u*u'y+f'v*v'y )
Kui avaldise väärtus on suurem nullist, siis cos >0 ja >90° ning see tähendab, et funktsiooni väärtus kasvab r0 suunas ja skalaarkorrutis on suurem nullist. Osatuletise kasutamine kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite uurimisel- Punkte (x0;y0), kus funktsiooni esimest järku osatuletised võrduvad nulliga nimetatakse statsionaarseteks punktideks. Statsionaarsed punktid on need punktid, kus kõige suurema tõenäosusega asuvad ekstreemumid. Seejärel võtame teised osatuletised ning ka segatuletised ja arvutame nende väärtused statsionaarsetes punktides. Saadud numbrite põhjal koostame 2x2 determinandi , kus a11=z''xx ; a12=a21=z''xy ; a22=z''yy statsionaarses punktis. Kui D>0, siis ekstreemumpunkt leidub, ekstreemumpunkti liik selgub, kui vaatame z''xx märki , kui see on positiivne , siis on tegemist miinimumpunktiga , kui negatiivne , siis maksimumpunktiga. Kui D<0 , siis ekstreemumit ei leidu ja kui D=0 , siis meie meetodid meile vastust ei anna ja vaja on täiendavat uurimist.
Nad iseloomustavad funktsiooni muutumise kiirust vastava koordinaattelje sihis. Kui wi > 0 siis funktsioon kasvab i- nda koordinaadi kasvades, kui wi < 0 siis funktsioon kahaneb i-nda koordinaadi kahanedes. Märkus 2: esimest järku osatuletistest arvutatud osatuletisi nimetatakse teist järku osatuletisteks. Tähis on wij . Neist võib edasi arvutada kõrgemat järku osatuletisi. Tähis on wij ...k . Schwarz´i teoreem pidevate funktsioonide segatuletised on võrdsed fxy=fyx Tuletis antud suunas. Granient Definitsioon: kui ühikvektori tähis n-mõõtmelises ruumis on l0, siis defineeritakse funktsiooni w` w = f (P ) tuletis vektori l0 suunas kui vektori l0 ja gradientvektori grad w skalaarkorrutist: l` w` = l0 gradw l` Järeldus: Geomeetriliselt on tuletis antud suunas gradientvektori projektsioon sellele w` diferentseerimissuunale
Tõestada üks segatuletiste võrdsuse piisav tingimus. ^2+^2+^2),( / ^2+^2+^2)) = (cos,,), kus suurused cos, ja on vektori l Kui funktsioon z = f(x,y) ja selle osatuletised zx, zy, zxy ja zyx on mingi punkti ümbruses pidevad, siis selles punktis funktsiooni suunakoosinused. Tuletame meelde, et vektori suunakoosinued on koosinused nurkadest, mille see vektor moodustab vastavalt x- segatuletised on võrdsed, s.t. 2z/ x y = 2z/ y x (zxy = zyx). telje, y-telje ja z-telje positiivse suunaga, kusjuures kehtib seos ^2 + ^2 +^2 = 1. Seega saame suunatuletise = f(x + x,y + y) f(x,y + y) f(x + x,y) + f(x,y),
𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 𝛥𝛥𝑥 𝑦 𝐹 (𝑥,𝑦) 𝛾 pidevad, siis selles punktis funktsiooni segatuletised on võrdsed s,t 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝜕𝑦𝜕𝑥 (𝑧𝑥𝑦 = 𝑧𝑦𝑥 ) √𝛥𝑥 2 + 𝛥𝛥𝑥 𝑦 2 . Seega Fx (x, y) ∆x + Fy (x, y) ∆∆xy + ϒ = 0, millest leiame, et 𝛥𝑥
2x y x 2x y2 6y Siin segatuletiste võrdsus ei ole juhuslik. Nimelt kehtib Teoreem 1. Kui funktsioon z f x, y ja selle osatuletised z x , z y , z xy ja z yx on mingi punkti ümbruses pidevad, siis selles punktis funktsiooni segatuletised on võrdsed, s.t. 2z 2z x y y x (z xy z yx ) Osatuletise rakendused. 1. Ekstreemumi leidmine. Funktsiooni z f x, y maksimumi ja miinimumi nimetatakse tema ekstreemumiteks. 2 2 Näide 7. Funktsioonil z x 1 y 2 1 on miinimum punktis 1, 2 . (Vaata allolevat joonist)
annaabi.ee 
