üht maatriksit saab avaldada ülejäänute kaudu Baasimaatriksid k * = k max = mn Ak * +1 = a1 A1 + a2 A2 + ... + ak * Ak * (nxm) maatriksite hulgas leidub maksimaalselt mn lineaarselt sõltumatut mitte nullmaatriksit, nad moodustavad baasi, st kõik ülejäänud maatriksid on avaldatavad nende lineaarse kombinatsioonina Maatriksi astak Maatriksi astak r võrdub maatriksi lineaarselt sõltumatute reavektorite (veeruvektorite) maksimaalse arvuga. Ülejäänud reavektorid (veeruvektorid) avalduvad nende r vektori kaudu 1 0 ... 0 0 1 ... 0 En = R n× n ... ... ... ... 0 0 ... 1 Maatriksid Ruutmaatriksid m = n Peadiagonaal Diagonaalmaatriksid, Ühikmaatriksid det A = a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 -
E= . 8. Maatriksit, mille kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse tähega O või . 8) Maatriksite korrutamine ja selle omadused. mn np Maatriksite A R ja B R korrutise leidmiseks esitatakse vastavalt 1 reavektorite ja veeruvektorite kujul ( A= 2 ja 12n )korrutise leidmiseks kasutatakse m skalaarkorrutist. mn T Transponeerimine m=i A=aij R (A read on A veergudes) transp-d maatriks on A T =bij Rmn
(aritm. vektorid)=) , Maatriksi veeruvektorid on aritm.vektorid ) , Maatriksi lineaar tehete orrel kehtivad vektorruumide lin.tehete omadused,kui ja A=aij B=bij abc A+B=B+A, (A+B)+C=A+(B+C), A+==A, vastand maatriks B , nii et A+B=B+A=, (a+b)A=aA+bA, a(A+B)=aA+aB, (ab)B=A*(bB), 1A=A 7. Maatriksite korrutamine ja transponeerimine. Maatriksite ja korrutise leidmiseks esitatakse vastavalt reavektorite ja veeruvektorite kujul ( A= ja )korrutise leidmiseks kasutatakse skalaarkorrutist. Transponeerimine m=i A=aij (A read on veergudes) transp-d maatriks on =bij . bij= aij iga i ja j korral Reeglid , , 8. Elementaarteisendused maatriksi ridadega ja veergudega.ühik maatriksi leidmine maatriksi elementaarteisenduste abil. Kasutatakse üleminekul maatriksi A B le,teisendades ridu ja veergu kindlate reeglite abil. Maatriksi ridade elementaarteisendamieks nim
Näide 5: korrutise A2 x 3 B3 x 5 tulemuseks on maatriks, millel on 2 rida ja 5 veergu. Tähistame maatriksi Am x n reavektorid i ( i = 1, ..., m) ning maatriksi Bn x p veeruvektorid j ( j = 1, ..., p). Definitsioon 4. Maatriksite Am x n ja Bn x p korrusitesks nimetatakse maatriksit AB = (i j) = Cm x p , mille elementideks cij on vektorite i ja j skalaarkorrutised cij = i j (maatriksi A reavektorite i ja maatriksi B veeruvektorite j vastavate elementide korrutiste summa). Maatriksite korrutamise reegel on lühidalt esitatav kujul RIDA × VEERG Maatriksite korrutist saab skemaatiliselt väljendada järgmiselt i x j Kui ruutmaatriksid A ja B on võrdsete suurustega , siis alati eksisteerivad AB ning BA.
-3- Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina Tähistame maatriksi Am x n reavektorid i ( i = 1, ..., m) ning maatriksi Bn x p veeruvektorid j ( j = 1, ..., p). Definitsioon 4. Maatriksite Am x n ja Bn x p korrusitesks nimetatakse maatriksit AB = (i j) = Cm x p , mille elementideks cij on vektorite i ja j skalaarkorrutised cij = i j (maatriksi A reavektorite i ja maatriksi B veeruvektorite j vastavate elementide korrutiste summa). Maatriksite korrutamise reegel on lühidalt esitatav kujul RIDA × VEERG Maatriksite korrutist saab skemaatiliselt väljendada järgmiselt i x j Kui ruutmaatriksid A ja B on võrdsete suurustega , siis alati eksisteerivad AB ning BA.
2 8 4 3 0 9 1 0 4 25 9 5 E ' (10 2 9 6 8 1) Maatriksite korrutamine Maatriksite A ja B korrutamisel tuleb leida maatriksi A reavektorite skalaarkorrutised maatriksi B veeruvektoritega. Seepärast tutvume algul rea- ja veeruvektorite skalaarkorrutisega. Kui on antud reavektor A ja veeruvektor B b11 A ' (a11 a12 a13 ) B ' b21 b31 siis nende vektorite skalaarkorrutis on A B ' a11 b11 % a12 b21 % a13 b31
2.4 N¨ aide: maatriksruumid Matk × n (K) on vektorruum u ¨le K. Arvutusoperatioonid defineeri- sime II. peat¨ ukis. 2.5 N¨ aide: aritmeetilised vektorruumid Aritmeetilised vektorid on u ¨herealised ja u ¨heveerulised maatriksid elementidega korpusest K. Aritmeetilised vektorruumid on Kn := Mat1 × n (K) = {(x1 , . . . , xn )|xi K} reavektorite ruum n K := Matn × 1 (K) = {(x1 , . . . , xn )T |xi K} veeruvektorite ruum Tehted aritmeetiliste vektoritega toimuvad maatriksarvutuse reeg- lite kohaselt. 2.6 N¨ aide: geomeetrilised vektorid Geomeetriline vektor on suunatud sirgl~ oik. Vektorite liitmine defi- neeritakse r¨o¨opk¨ uliku reegliga. Korrutamine arvuga defineeritakse l~oigu pikendamise v~oi l¨ uhendamise teel ja negatiivsete arvude kor-
annaabi.ee 
