w- muutuja funktsioon w=f(x1,x2,...xm), hulka D nim funi w=f(x1,x2,...xm) määramispiirkonnaks, suurusi x1,x2,...xm nim funi
argumentideks (funil on m argumenti)
Def.4 Punkti ARm ümbruseks nim iga lahtist kera S(a,r) (erijuhud: m=2 A ümbruseks lahtine ring S(a,r), m=1 A ümbruseks
sümmeetriline vahemik)
Def.5 Öeldakse, et hulk D on lahtine ruumis Rm kui iga tema punkt on sisepunkt. Öeldakse, et hulk D on kinnine, kui ta sisaldab
kõiki oma rajapunkte.
Def.6 Punkti A nim jada (Pn) piirpunktiks ja tähist limnP=A kui limn-d(Pn,A)=0
Def.6'Punkti A nim jada Pn piirpunktiks, kui iga E>0 korral leidub naturaalarv N nii, et d(Pn,A)
x*y=x1y1+...+xnyn
Vektorruumi Rn nullvektorist erinevate vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,...,yn) vahelise
nurga koosinuseks nim arvu cos (nurk x,y)=x*y/|x||y|
Hulka U (P)={QRn|d(P,Q<} nim punkti P -ümbruseks.
Punkti P Rn nim hulga C Rn rajapunktiks, kui iga > 0 korral, sisaldab punkti P -
ümbrus nii hulga punkte kui ka hulka mittekuuluvaid ruumi Rn punkte.
Hulka C Rn nim lahtiseks, kui iga punkti P korral leidub > 0, et U (P)C
Hulka C Rn nim kinniseks, kui ta sisaldab kõiki oma rajapunkte
Hulka C Rn nim tõkestatuks, kui leidub reaalarv r>0, et C {QRn|d(0,Q)
Sise- ja rajapunktide hulgad ei oma u ¨hisosa. Teiste s~onadega: u¨ks ja sama punkt A ei saa olla hulgale G samaaegselt nii sise- kui ka rajapunkt. K~oik hulga G sisepunktid sisalduvad hulgas G. Hulga G rajapunktide seas v~oib olla selliseid punkte, mis paiknevad hulgas G ja ka selliseid punkte, mis ei paikne hulgas G. Lahtised ja kinnised hulgad. Kui hulk koosneb ainult sisepunktidest, siis nimetatakse seda hulka lahtiseks. Kui hulk sisaldab k~oiki oma rajapunkte, siis nimetatatakse seda hulka kin- niseks. Lahine kera on lahtine hulk ja kinnine kera on kinnine hulk. Sidusa hulga m~ oiste. Hulka G nimetatakse sidusaks, kui selle hulga iga kahte punkti saab u ¨hendada pideva murdjoonega, mille k~oik punktid kuuluvad hulka G. T~okestatud hulga m~ oiste. Hulka G nimetatakse t~okestatuks, kui leidub (kin- nine v~oi lahtine) kera, mille alamhulgaks on hulk G. 4)Mitmemõõtmelise muutuva suuruse ja mitmemuutuja funktsiooni mõisted.
sisaldub täielikult D-s. Punkt Q on piirkonnaväline punkt, kui leidub selline ümbrus U ( Q ) D , mis ei sisaldu D-s. Punkt R on piirkonna D rajapunkt, kui selle mis tahes ümbrus U ( R ) sisaldab nii piirkonna D punkte, kui ka punkte väljaspool D-d. Piirkonna D kõik rajapunktid moodustavad selle rajajoone (rajapinna). Def. 1.4. Piirkonda, mille kõik punktid on selle piirkonna sisemised punktid nimetatakse lahtiseks piirkonnaks. Kui piirkond sisaldab kõiki oma rajapunkte, siis nimetatakse seda kinniseks piirkonnaks ja tähistatakse D . Def. 1.5. Piirkond D on tõkestatud, kui leidub selline kera K R raadiusega R, et D K R . K R = U R ( 0 ) 0 = ( 0,0,...,0 ) - koordinaatide alguspunkt. Def. 1.6. n-muutuja funktsiooniks nimetatakse seaduspärasust või teisendust, mis igale punktile xi X n-mõõtmelises ruumis seab vastavusse mingi väärtuse y Y ( x f y ).
Def. Punkti Q R m nimetatakse hulga D R m rajapunktiks, kui iga selle punkti ümbrus U (Q ) sisaldab nii hulka D kuuluvaid kui ka sinna mittekuuluvaid punkte. Def. Hulga D R m rajaks D nimetatakse selle hulga kõigi rajapunktide hulka. Raja nimetatakse sirgel rajapunktideks, tasandil rajajooneks ning ruumis rajapinnaks. Def. Hulka D R m nimetatakse lahtiseks, kui kõik tema punktid on sisepunktid. Def. Hulka D R m nimetatakse kinniseks, kui see hulk sisaldab kõiki oma rajapunkte. Näited: 1) D = (a, b ) = {x : a < x < b} D = {a, b} D hulk D on lahtine 2) D = [a, b] = {x : a x b} D = {a, b} D hulk D on kinnine 3) D = [a, b ) = {x : a x < b} D = {a, b} hulk D ei ole lahtine ega kinnine 1 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 2
D = {(x, y)| x2 + y 2 1} on tasandi niisuguste punktide hulk, mis asuvad koorinaatide alguspunk- tist mitte kaugemal kui u ¨ks u¨hik ehk u¨hikulise raadiusega ring koos seda u ¨ mbritseva ringjoonega. Piirkonda piiravat joont nimetatakse piirkonna rajajooneks ja rajajoone punkte piirkonna rajapunktideks. Rajajoonel mitte asuvaid punkte nimeta- takse piirkonna sisepuntideks. Piirkonsa nimetatakse kinniseks, kui see sisaldab k~oiki oma rajapunkte, st sisaldab rajajoont. Piirkonda nimetatakse lahtiseks, kui see ei sisalda u ¨htegi rajapunkti. Edaspidi kujutame joonistel kinnise piirkonna rajajoont pideva joonega ja lahtise piirkonna rajajoont katkendliku joonega. Joonis 6.1. Kinnine ja lahtine ring Punkti u ¨mbruseks tasandil nimetatakse suvalise raadiusega lahtist ringi, mille keskpunktiks on punkt ise
annaabi.ee 
