lahendit y = y(x; C), mis rahuldab tingimust: iga punkti (x0; y0) D korral leidub konstandi C selline väärtus C0, et lahend y = y (x; C0) rahuldab algtingimust y(x0) = y0. Definitsioon Võrrandi y' = f (x; y) erilahendiks nimetatakse lahendit, mis saadakse üldlahendist konstandi C fikseerimisega. 8.Eksaktne diferentsiaalvõrrand Olgu meil sümmeetrilisel kujul diferentsiaalvõrrand M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 loomuliku eeldusega funktsioonide ühelisidusas määramispiirkonnas D. Lause: Rahuldagu funktsioonid M ja N ühelisidusas piirkonnas D järgmisi tingimusi: · M, N, , C(D) · · Siis leidub selline funktsioon F(x,y), mille täisdiferentsiaal dF(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy piirkonnas D. Lause: Rahuldagu funktsioonid M ja N ühelisidusas piirkonnas D järgmisi tingimusi: · M, N, , C(D) · · Siis nimetame diferentsiaalvõrrandit M(x,y)dx + N(x,y)dy eksaktseks ehk
selline väärtus C0, et lahend y = y (x; C0) rahuldab algtingimust y(x0) = y0. Definitsioon Võrrandi y’ = f (x; y) erilahendiks nimetatakse lahendit, mis saadakse üldlahendist konstandi C fikseerimisega. 8.Eksaktne diferentsiaalvõrrand. Seos teist liiki joonintegraaliga. Olgu meil sümmeetrilisel kujul diferentsiaalvõrrand M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 loomuliku eeldusega funktsioonide ühelisidusas määramispiirkonnas D. Lause: Rahuldagu funktsioonid M ja N ühelisidusas piirkonnas D järgmisi tingimusi: M, N, , Є C(D) Siis leidub selline funktsioon F(x,y), mille täisdiferentsiaal dF(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy piirkonnas D. Lause: Rahuldagu funktsioonid M ja N ühelisidusas piirkonnas D järgmisi tingimusi: M, N, , Є C(D) Siis nimetame diferentsiaalvõrrandit M(x,y)dx + N(x,y)dy eksaktseks ehk
14. Kolmekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides i =1 masspunktiga, mille mass mi=(Pi)Si Süsteemi Pi, kus i=1,2,...,n, Rahuldagu piirkond V järgmisi tingimusi J ( , , z ) = sin cos 0 = tehtud töö. Valime igal osakaarel punkti P [M ,M ]. Olgu d =|M ,M |. i i-1 i i i-1 i
x2 + y2 + z2 = 2 funktsioonide ühelisidusas määramispiirkonnas D. Rahuldagu funktsioonid M ja N ühelisidusas piirkonnas järgmisi tingimusi: M, N, My, Nx c C(D) fxy(x + 1x,y + 3y) xy = fyx(x + 4x,y + 2y) yx, My = Nx fxy(x + 1x,y + 3y) = fyx(x + 4x,y + 2y),
niste hulkade hulgaks. L˜opuks veendume, et hulgaga K m¨a¨aratud topoloogia T suhtes iga hulga A ∈ P(X) sulundiks on A. Eelduse 30 t˜ottu A ∈ K, st A on kinnine. Olgu B selline kinnine hulk, et A ⊂ B ⊂ A. Siis B = B, B = A∪(B A) ja eelduse 40 p˜ohjal B = A ∪ (B A). Seega A ⊂ B = B ⊂ A ja B = A. J¨arelikult on A v¨ahim hulka A sisaldav kinnine hulk. Teoreemi 3.2 omaduse 10 p˜ohjal on A hulga A sulund topoloogia T suhtes. Teoreem 3.13 Rahuldagu topoloogiline ruum X esimest loen- duvuse aksioomi ja olgu A ruumi X mittet¨ uhi alamhulk. Siis 3.2 Hulga sulund 31 x ∈ cl(A) parajasti siis, kui ta on hulka A kuuluvatest elemen- tidest koosneva jada {an }n∈N piirv¨ a¨ artus: x = limn→∞ an . T˜oestus. Olgu x ∈ cl(A). Konstrueerime jada {an }n∈N nii, et an ∈ A ja limn→∞ an = x
tades, et m − n ∈ N iga naturaalarvu n < m puhul. Väide kehtib juhul n = 1, sest lemma 1.13 põhjal m − 1 ∈ N. Eeldame, et väide kehtib juhul n, s.t. m − n ∈ N, ja veendume, et m − (n + 1) ∈ N. Selleks rakendame veel kord lemmat 1.13, mille kohaselt m − (n + 1) = (m − n) − 1 ∈ N. Väide on tõestatud. Järeldus 1.15 Kui m, n ∈ N ning m > n, siis m > n + 1. Tõestus. Rahuldagu naturaalarvud m ja n võrratust m > n, siis omaduse 1.14 põhjal m − n ∈ N. Nüüd jääb üle rakendada omadust 1.12 (iseseisvalt!z). Induktsioonimeetodiga saab veel lihtsalt tõestada (iseseisvalt!)z, et järjestatud korpuse igas lõplikus alamhulgas on olemas suurim ja vähim element. Lõpmatute hulkade puhul see üldjuhul nii ei ole, küll aga kehtib järgmine väide. Omadus 1.16 Igas naturaalarvude hulga mittetühjas alamhulgas on vähim element. Tõestus
saavutab tingliku ekstreemumi, otsida funktsiooni F statsionaarsete punktide hulgast. Funktsiooni F funktsioonide ühelisidusas määramispiirkonnas D.Lause: Rahuldagu funktsioonid M ja N ühelisidusas statsionaarsed punktid on teatavasti sellised kus F′x (x, y, λ) = F′y (x, y, λ) = 0. Asendades nendesse seostesse teisendub piirknna Ω’ piirkonnaks Ω, siis ∫ … ∫𝛺 𝑓(𝑥)𝑑𝑥1 … 𝑑𝑥𝑛 = ∫ … ∫𝛺′ 𝑓(𝑥(𝑡))|𝐽(𝑡)|𝑑𝑡1 … 𝑑𝑡𝑛 . Üleminek funktsiooni F valemi põhjal saame järgmised võrrandid: f′x (x, y) + λ
kolmekordseksintegraaliks antud piirkonnas V nimetatakse funktsiooni f(x,y,z) integraalsummasumma n n = f ( Pi )Vi , i =1 kus Vi on hulga V tükeldamisel n osahulgaks V1, V2,..., Vn saadud osahulk ning Pi punkt, kusjuures PiVi, piirväärtust protsessis n0, kus n=max{d1, d2,...,dn}, kus di tüki Vi diameeter n lim f ( Pi ) Vi = f ( P )dV n0 i =1 V Kolmekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides Rahuldagu piirkond V järgmisi tingimusi 1) V on alt piiratud pinnaga z=1(x,y) ja ülevalt pinnaga z=2(x,y) 2) V projektsioon D xy-tasandile on regulaarne y-telje suhtes ning leiduvad ab ja funktsioonid 1(x)2(x), mis määravad D võrratustega axb ja 1(x)y2(x). Kui V rahuldab tingimusi 1) ja 2), siis b 2 ( x ) 2 ( x , y ) f ( P)dV = dx dy f ( x, y, z )dz V a 1 ( x) 1 ( x, y ) 21. Muutuja vahetus kolmekordses integraalis
N¨ uu¨d valemi (5.15) s=2 2a cos d = 8a cos d = 8a sin = 8a. 2 2 2 2 0 0 0 5.12 P¨ o¨ ordkeha ruumala Rahuldagu l~oigul [a; b] m¨a¨aratud ja pidev funktsioon f (x) tingimust f (x) 0. Olgu k~overtrapets (joonis 5.18) abBA piiratud x-teljega, sirgetega x = a, x = b ja funktsiooni y = f (x) graafikuga. Paneme k~overtrapetsi p¨o¨orlema u ¨mber x-telje. y f (x) B y= x=b A x=a
annaabi.ee 
