vähim väärtus Funktsiooni y=f(x) nimetatakse piirkonnas X kasvavaks, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus kahanevaks, kui igale suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus. Käänupunkt - Punkt, millest läbiminekul joon muutub nõgusast kumeraks või kumerast nõgusaks Kumeruspiirkond- vahemik, kus ükski tema punkt selles piirkonnas ei ole kõrgemal ühestki tema puutujast selles vahemikus Nõgususpiirkond vahemik, kus ükski tema punkt selles piirkonnas ei ole allpool ühestki tema puutujast selles vahemikus Joone asümptoot - sirge, millele joone graafik piiramatult läheneb. Püstasumptoot - y-teljega paralleelne asümptoot Kaldasümptoot - Asümptoot, mis ei ole paralleelne koordinaattelgedega
Leidmine: 10) Funktsiooni maksimumkohaks nim. argumendi x väärtusi, mille korral kasvamine asendub kahanemisega. 11) Funktsiooni miinimumkohaks nim. argumendi x väärtusi, mille korral kahanemine asendub kasvamisega. 12) Funktsiooni maksimum on funktsiooni väärtus maksimum kohal. 13) Funktsiooni miinimum on funktsiooni väärtus miinimum kohal. 14) Kumerusvahemik vahemik, kus ükski tema punkt ei ole kõrgemal ühestki tema puutujast selles vahemikus. Tunnus: f``(x)<0 15) Nõgususvahemik vahemik, kus ükski tema punkt ei ole allpool ühestki tema puutujast selles vahemikus. Tunnus: f´´(x)>0 16) Funktsiooni nimetatakse paarisfunktsiooniks kui funktsiooni väärtused kohtadel x ja -x on võrdsed. Graafik sümmeetriline y-telje suhtes. f(x)=f(-x) 17) Funktsiooni nimetatakse paarituks kui funktsiooni väärtused kohtadel x ja -x on vastasmärgilised
Tõkestatud muutuva suuruse ja lõpmata väikese suuruse korrutis on lõpmata väike suurus. Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste korrutis on lõpmata väike suurus. Arv e. Piirväärtuse arvutamine. L'Hospitali valem, selle kasutamise eeldused. Tuletis, selle rakendused Tuletis, selle geomeetriline tähendus. Funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu tõkestamatul lähenemisel nullile. Geomeetriline tähendus ülesanne joone puutujast See tähendab, et funktsiooni tuletise geomeetriliseks vasteks on funktsiooni graafiku puutuja tõus punktis, mille abstsiss on x. Mehaaniline tähendus ülesanne punkti kiirjusest Tuletise arvutamine definitsiooni järgi. Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse ka diferentseerimiseks. Tuletise leidmiseks on vaja: 1. fikseerida argumendi mingi väärtus x 2. ja arvutada sellele vastav funktsiooni väärtus 3. anda argumendile muut x ja arvutada uuele 4
Asümptoodid. 25. Ositi integreerimine Olgu f(t) pidev funktsioon, selles vahemikus kõrgemal temale tõmmatud 7. Olulised väärtused (nullkohad, ekstreemumid, t=u(x) -pidev ja diferentseeruv, siis kehtib valem puutujast. käänupunktid) Funktsioon y=f(x) on kumer lõigul (a,b), kui selle funktsiooni graafik asub selles vahemikus allpool Tõestus: diferentseerime võrduse mõlemat poolt temale tõmmatud puutujast. Definitsioon 2 Punkte, kus funktsioon on määratud ja
83. Üks trapetsi nurkadest on 30° ja tema haarad lõikuksid pikendusel täisnurga all. Leida trapetsi lühem haar, kui kesklõik on 10 cm ja üks alustest on 8 cm. 84. Trapetsi diagonaalide lõikude ja trapetsi alustega piiratud kolmnurkade pindalad on 16 cm² ja 25 cm². Arvutada trapetsi pindala. 85. Trapetsi alused suhtuvad nagu 3:2. Kui suure osa trapetsi pindalast moodustab selle trapetsi täienduskolmnurga pindala? 86. Ringi diameetri otspunktid asuvad ringjoone puutujast 1,6 m ja 0,6 m kaugusel. Arvutada diameetri pikkus. 87. Ringust on välja lõigatud väiksem ring, mille diameeter võrdub antud ringi raadiusega. Sel teel saadud kujundi pindala on 27 cm². Leida suurema ringi raadius. 88. Ringjoonel asetsevast punktist on joonestatud diameeter ja raadiusega võrdne kõõl. Leida nendevaheline nurk. 89. Ühest punktist on ringjoonele tõmmatud kaks puutujat. Puutuja pikkus on 12 cm ja puutepunktide baheline kaugus 14,4 cm. Leida ringjoone raadius. 90
3. Defineerige joone (funktsiooni f(x) graafiku) kõverus antud punktis? Funktsiooni f(x) graafiku puutuja suunanurga muutumise kiiruse absoluutväärtust puutepunkti liikumisel mööda graafikut nimetatakse (f-ni graafiku) kõveruseks. 4. Leidke ringjoone, raadiusega R kõverus? F-ni graafiku kõveruse pöördväärtust nimetatakse kõverusraadiuseks. 5. Defineerige kõverusringjoon? Ringjoont, millel on funktsiooni f(x) graafikuga ühine puutuja ja mis asub sellest puutujast funktsiooni f(x) graafikuga samal pool nimetatakse kõverusringjooneks 6. Kuidas muutub joone kõverusringjoon, kui selle puutepunkt joonega liigub mööda graafikut? Kõverusringjoon väheneb kui ta liigub kõveruskeskpunkti suunas, kõveruskeskpunktist eemaldumisel kõverusringjoon suureneb. 7. Kuidas kõveruse järgi leida kõverusringjoone raadiust? Kõveruse järgi kõverusringjooneraadiuse leidmiseks tuleb leida kõveruse pöördväärtus. 8. Mis on kõveruskeskpunkt
Kahes eelmises punktis leitud funktsiooni väärtustest leitakse suurim ja vähim. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 36 Funktsiooni kumerus ja nõgusus, käänupunktid. Teoreem kumerus- ja nõgusus- piirkonnast (tõestusega). Definitsioon 1 Funktsioon y = f (x) on nõgus vahemikus (a, b), kui selle funktsiooni graafik asub selles vahemikus kõrgemal temale tõmmatud puutujast. Funktsioon y = f (x) on kumer lõigul (a, b), kui selle funktsiooni graafik asub selles vahemikus allpool temale tõmmatud puutujast. Definitsioon 2 Punkte, kus funktsioon on määratud ja pidev ja milles funktsiooni kumerus muutub nõgususeks või vastupidi nimetatakse käänupunktideks. Teoreem 1 Kui funktsioon y = f (x) on kumer mingis vahemikus, siis y n ( x) < 0 selles vahemikus. Kui funktsioon on nõgus, siis y n ( x) > 0 selles vahemikus.
Kahes eelmises punktis leitud funktsiooni väärtustest leitakse suurim ja vähim. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 36 Funktsiooni kumerus ja nõgusus, käänupunktid. Teoreem kumerus- ja nõgusus- piirkonnast (tõestusega). Definitsioon 1 Funktsioon y = f (x) on nõgus vahemikus (a, b), kui selle funktsiooni graafik asub selles vahemikus kõrgemal temale tõmmatud puutujast. Funktsioon y = f (x) on kumer lõigul (a, b), kui selle funktsiooni graafik asub selles vahemikus allpool temale tõmmatud puutujast. Definitsioon 2 Punkte, kus funktsioon on määratud ja pidev ja milles funktsiooni kumerus muutub nõgususeks või vastupidi nimetatakse käänupunktideks. Teoreem 1 Kui funktsioon y = f (x) on kumer mingis vahemikus, siis y n ( x) < 0 selles vahemikus. Kui funktsioon on nõgus, siis y n ( x) > 0 selles vahemikus.
allpool. Definitsioon 2. Funktsiooni graafikut nimetatakse n~ogusaks piirkonnas X, kui u ¨kski selles piirkonnas graafikule t~ommatud puutuja ei ole graafikust u ¨lalpool. Definitsioon 3.Funktsiooni graafiku k¨a¨anupunktiks nimetatakse punkti, mis eraldab kumeruspiirkonda n~ogususpiirkonnast. J¨ areldus definitsioonidest. K¨a¨anupunktis graafiku puutuja l~oikab graa- fikut, sest u ¨hel pool k¨a¨anupunkti ei ole puutuja graafikust allpool ja teisel pool puutujast u ¨lalpool. Funktsiooni graafiku kumeruspiirkonda t¨ahistatakse s¨umboliga X ^ ja n~ogu- suspiirkonda s¨ umboliga X. Teoreem 1. Olgu pideval funktsioonil y = f (x) piirkonnas X pidevad esimest ja teist j¨arku tuletised. Kui f (x) < 0 piirkonnas X, siis on funkt- siooni graafik selles piirkonnas kumer. T~oestus. Olgu piirkonnas X funktsiooni graafikule t~ommatud puutuja punktis P0 (x0 ; f (x0 )). Fikseerime piirkonnas X veel u¨he punkti x = x0 .
annaabi.ee 
