· Logaritmfunktsioon: , kus logaritmide alus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1). · Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x Nendes valemites väljendatakse sõltumatu muutuja x radiaanides. · Arkusfunktsioonid: y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arc cot x . Kui meil on kaks funktsiooni f(x) ja g(x) ning kui nendest funktsioon f[g(x)], siis on tegemist nö liitfunktsiooniga. 5. Polaarkaugus ja polaarnurk, polaarkoordinaadid. Seosed polaar- ja ristkoordinaatide vahel, joonis. Punkti M asukoha tasapinnal määravad kaks arvu: polaarkaugus (polaarraadius) , mis on punkti M kaugus poolusest, ja polaarnurk , mis on polaartelje ja lõigu OM vahel. Vastu kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise suunas mõõdetud nurk negatiivseks. Arve ja nimetatakse punkti M polaarkoordinaatideks.
f( x), kus paremal olev avaldis on koostatud elementaarsetest põhifunktsioonidest ja konstantidest lõpliku arvu liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise ja liitfunktsiooni moodustamise operatsioonide teel. Polaarkoordinaadistik: Punkti asukoha määramiseks tasapinnal saab kasutada polaarkoordinaate. Võtame tasapinnal punkti O, mida nimetatakse pooluseks ja sellest punktist väljuva kiire, mida nimetatakse polaarteljeks. Punkti M asukoha tasapinnal määravad kaks arvu: polaarkaugus (polaarraadius) ρ , mis on punkti M kaugus poolusest, ja polaarnurk ϕ , mis on polaartelje ja lõigu OM vahel. Vastu kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise suunas mõõdetud nurk negatiivseks. Arve ρ ja ϕ nimetatakse punkti M polaarkoordinaatideks. 6. Muutuva suuruse piirväärtus: Def. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga etteantud kui tahes
D D 9. Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse. Olgu A=(a;b) fikseeritud punkt xy-tasandil. Punkti P=(x;y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nim arvupaari ja , kus on P ja A vaheline kaugus ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. polaarkaugus ja -polaarnurk. Ristkoordinaadid avalduvad polaarkoordinaatide kaudu järgmiste seostega: x=a + cos , y=b + sin Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse: Vaatleme ristkoordinaatides x ja y antud kahekordse integraali D (x,y)dxdy teisendamist polaarkoordinaatidesse ja . Olgu hulgas D paiknevatele punktidele (x,y) vastavate polaarkoodniaatide (,) hulk D`. Muutuja vahetuse teostamiseks peame arvutama jakobiaani J(, )
P(x;y) Leiame punkti P ristprojektsioonid Px ja Py vastavalt x-teljel ja y-teljel. Olgu punkti Px koordinaat abstsissteljel xP ja punkti Py koordinaat ordinaatteljel yP. Selle järgi punkti koordinaadid on P(x;y). 11. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed. polaarkoordinaat kahemõõtmeline koordinaatide süsteem, kus iga tasandi punkt on määratud kaugusega fikseeritud punktist (punkti ja pooluse vaheline pikkus polaarkaugus r) ning nurgaga fikseeritud suunast (polaarnurk ). üleminekuvalemid polaarkoordinaadistiku ja ristkoordinaadistiku vahel: Polaarkoordinaadistik tasandil: Suunaga arvtelg e. polaartelg. Alguspunkt Ühiku pikkus Polaarraadius r = |OM| Polaarnurk , nurk OM ja polaartelje pos. suuna vahel. M(r;). 12. Ristkoordinaadistik ruumis. Punkti ristkoordinaadid ruumis. Punkti silinderkoordinaadid
Kaugusmõõtur varem kasutati niitkaugusmõõturiga (täpsus 1/300d), praegu laserkaugusmõõturid (3-6mm/km). Mõõdistamine toimub kas eelnevalt või samaaegselt määratud mõõdistamiskäigu punkti, mille koordinaadid (x,y,z) on määratud, tahhümeetri horisontaalringi null-lugem suunatakse teise tuntud punkti poole, pikksilma suunamisega maastikupunktile saab horisontaalringilt polaarnurga . Polaarkaugus s määratakse kaugusmõõturiga ja mõõdetakse vertikaalringi abil kaldenurk, kaldunurga ja kauguse järgi saab arvutada kõrguskasvu. Maastikupunkt kantakse plaanile kas polaar- või ristkoordinaatide järgi. Plaan koostatakse kameraalselt, kas käsitsi või vajaliku andmetöötlusprogrammi abil. Tahhümeetriat kasutatakse tiheasustusega aladel ja trasside mõõdistamisel. Plaanid koostatakse tavaliselt suurtes mõõtkavades. Väiksemate mõõtkavade juures (näiteks
Parandused Lambert-Est kaardiprojektsiooni üleviimiseks: Kprojection =d(m-1) (20) kus d - horisontaalkaugus, m - projektsiooni mõõtkava tegur vastavas kohas. Mõõtkava teguri arvutamisel kasutati valemit: sin ( ) 0 m= (21) N cos( ) kus - polaarkaugus projektsiooni koonuse tipust, 0 - projektsiooni keskparalleel, N - esimese vertikaali raadius, - punkti laius. Polaarkauguse arvutamisel kasutati valemit: sin ( 0 ) =C tan 45° - 1 + sin ( )
alguspunktiks. Nurk α οn vurri telje x asimuut, mida loeme päripäeva, samuti nagu teda loetakse navigatsioonis. Nurk β on vurri telje kõrgus horisondist, mida loeme pooluse poole nagu astronoomias. Nurga β saab leida koosiinus lause abil. Polaarkolmnurgast Z P x cos(90 ) cos(90 ) cos sin( 90 ) sin cos(180 t ) sin sin cos cos sin cost (15) φ – koha geograafiline laius Δ – vurri telje polaarkaugus ω – Maa pöörlemise nurkkiirus t – aeg, mis on möödunud hetkest, kui vurri telg oli punktis C1 võtame valemist (15) tuletise aja järgi, arvestades, et φ ja Δ on püsisuurused d cos cos sin sin t dt (16). Varem tuletatud seosest ωM cosφ = ω1, kus ω1 on Maa pöörlemise rõhtkomponent. Avaldame valemist (16) β tuletise. d 1 sin sin t dt cos (17)
0O, 30O, 60O, ..., 330O). Kui polaar- trasseerimise käigus on kursor sat- tunud punktiiriga kujutatud trassi lähedale, siis AutoCAD teatab raa- miga ümbritsetult näiteks kujul Polar: 183.82 < 150O, et jooksev punkt asub lähtepunktist näidatud kaugusel näidatud nurga Joonis 12. all. Hiireklõpsuga saab punkti fikseerida (mida võib teha ka väljaspoolt polaar-trassi), aga õi- gem on anda polaarkaugus klaviatuurilt (täpsemalt vt. lisa 3). Polaar-trasseerimise häälesta- miseks tuleb avada vastav dialoogaken. Seda saab teha käsuga `DSETTINGS või rippmenüü Tools valikuga Drafting Settings..., kust valida dialoogakna vahekaart Polar Tracking (vt. joonis 12). Ripploendiboksist saab valida polaarnurkade 90O, 45O, 30O, 22.5O, 18O, 15O, 10O ja 5O vahel. Soovi korral saab käsunupuga New kasutusele võtta muidki polaarnurki. Nagu eespool mainitud, kasutab AutoCAD Release 15
O Joonis 5.14. K~oversektor Jaotame l~oigu [; ] suvalisel viisil n osal~oiguks punktidega = 0 < 1 < . . . < k-1 < k < . . . < n = . Igale jaotuspunktile vastab u ¨ks nurk polaarkoordinaadistikus. 9 Igal osal~oigul valime suvalise punkti k [k-1 ; k ] ja l¨ahendame k~over- sektorit, mille kesknurk on k = k - k-1 ringi sektoriga OQR, mille kesknurk on k ja raadius polaarkaugus (k ) fikseeritud nurga k korral. Joonisel vastab raadiusele l~oik OP . Kokku tekib meil n sellist ringi sektorit. Neist k-nda pindala on sektori 2 (k )k pindala valemi j¨argi . Liites k~oikide ringi sektorite pindalad kokku, 2 saame ligikaudu k~oversektori OAB pindala n 2 (k )
annaabi.ee 
