määramispiirkond. Mitmemuutuja funktsiooni graafik. Kahemuutuja funktsiooni graafiku geomeetriline sisu ja omadused. 5. Algebralised tehted mitmemuutuja funktsioonidega. Mitmemuutuja liitfunktsiooni mõiste. Parameetrilised pinnad. Parameetrilised kahemuutuja funktsioonid. Nivoopinnad ja nivoojooned. 6. Järjestatud mitmemõõtmelise muutuva suuruse mõiste. Mitmemõõtmelise muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Piirprotsessi PA seos piirprotsessiga |PA|0 ja punkti P koordinaatide lähenemisega punkti A koordinaatidele. 7. Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. Pideva mitmemuutuja funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Summa, vahe, korrutise, jagatise ja liitfunktsiooni pidevus. 8. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid etteantud hulgal. Sõnastada kinnises tõkestatud hulgas pidevate funktsioonide omadused, mis
o y = mx + b o Parempoolne kaldasümptoot, kui paremal pool eksisteerib lõpmatus. m = lim x->+ f(x)/x. b = lim x->+ [f(x)-mx]. Kui m=± või b=±, siis kaldasümptooti pole Asendan m ja b ning kirjutan: Sirge y=mx+b on funktsiooni f graafiku parempoolne kaldasümptoot. o Vasakpoolne kaldasümptoot, kui vasakul pool eksisteerib lõpmatus. Kui asendada piirprotsess x->+ piirprotsessiga x->- ja sellest arvutustulemused ei muutu, siis sama sirge y= ... on ka vaskpoolne kaldasümptoot. m = lim x->- f(x)/x. b = lim x->- [f(x)-mx]. Kui m=± või b=±, siis kaldasümptooti pole. Asendan m ja b ning kirjutan: Sirge y=mx+b on funktsiooni f graafiku vasakpoolne kaldasümptoot. kraadid 0o 30 o 45 o 60 o 90 o 180 o 270 o
vastab vastab suuruse u muut u = Olgu u = o (ei võrdu 0ga) Suuruse u muudule u vastab suuruse y muut. y = g(u+ u) g(u) Leiame liitfunktsiooni y = g(f(x)) tuletise y'= kui mõlemast tegurist eraldi piirväärtus eksisteerib = = = funktsiooni u=f(x) tuletise olemasolust punktis x järeldub f-n u = f(x) pidevuse selles punktis ja ... = = 3) Lõpmata väikesed ja lõpmata suured suurused on alati seotud mingi kindla piirprotsessiga. Definitsioon: (x) nim. vaadeldavas piirprotsessis lõpmata väikeseks suuruseks, kui lim (x) = 0 Lvs (lõpmata väike suurus) omadus: lim(x+) f(x) = A, kui iga > 0 korral leidub selline arv N, et iga x > N korral on I f(x) A I< ( näitab x ja A vahelist kaugust, mis on väiksem ) Kui lim(x +) f(x) = A, siis f(x) = A + (x), kus (x) lvs (x +) Definitsioon: (x) nim
Kui xa, siis ca, sest c painkeb x ja a vahel. Järelikult Muudame avaldise paremal poolel asuva piirväärtuse tähistust asendades muutuja c muutujaga x Eelduse kohaselt eksisteerib valemi paremal poolel olev piirväärtus. Järelikult eksisteerib ka vasakul pool olev piirväärtus. Teoreem on tõestatud. l'Hospitali reegel jääb kehtima ka siis, kui piirprotsessis xa asendada piirprotsessiga x või x-. 27. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid. Tuletada kõrgemat järku diferentsiaalide valemid. a. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid a.1. Funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist ja tähistatakse . a.2. Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks.
g(x) g ' (c ) g ' (c ) Muudame avaldise paremal poolel asuva piirväärtuse lim ¿ xa tähistust asendades muutuja c muutujaga x lim f ( x ) lim f ' ( x ) x a = xc Eelduse kohaselt eksisteerib valemi paremal poolel olev piirväärtus. g(x) g' (x) Järelikult eksisteerib ka vasakul pool olev piirväärtus. Teoreem on tõestatud. l'Hospitali reegel jääb kehtima ka siis, kui piirprotsessis xa asendada piirprotsessiga x või x-. 27. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid. Tuletada kõrgemat järku diferentsiaalide valemid. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid 1. Funktsiooni y=f ( x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise (n) tuletist ja tähistatakse f . 2.Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks.
x0 0 m¨a¨aratud (tekib m¨a¨ aramatus 0 ). Piirv¨a¨artuse arvutamisel kasutame l'Hospitali reeglit: sin x (sin x) cos x lim = lim = lim = cos 0 = 1. x0 x x0 (x) x0 1 M¨ arkusi. ab kehtima ka siis, kui piirprotsess x a asendada 1. l'Hospitali reegel j¨a¨ piirprotsessiga x - v~oi x . 2. l'Hospitali reegel on rakendatav ka t¨ uu¨pi m¨a¨aramatuse korral. Sellisel juhul tuleb teoreem 2.7 eeldustes esinevad v~ordused f (a) = g(a) = 0 asendada v~ordustega lim |f (x)| = lim |g(x)| = . xa xa f (a) 3. l'Hospitali reeglit saab rakendada murrule g(a) ainult siis, kui seal t~oesti
Elementaarfunktsioon x ei ole x = 0 korral x0 0 m¨a¨aratud (tekib m¨a¨aramatus 0 ). Piirv¨a¨artuse arvutamisel kasutame l'Hospitali reeglit: sin x (sin x) cos x lim = lim = lim = cos 0 = 1. x0 x x0 (x) x0 1 M¨ arkusi. 1. l'Hospitali reegel j¨a¨ab kehtima ka siis, kui piirprotsess x a asendada piirprotsessiga x - v~oi x . 2. l'Hospitali reegel on rakendatav ka t¨ uu¨pi m¨a¨aramatuse korral. Sellisel juhul tuleb teoreem 2.7 eeldustes esinevad v~ordused f (a) = g(a) = 0 asendada v~ordustega lim |f (x)| = lim |g(x)| = . xa xa f (a) 3. l'Hospitali reeglit saab rakendada murrule g(a) ainult siis, kui seal t~oesti esineb m¨a¨aramatus v~oi 0
ent mis on see täpne vastus? Täpse vastuse nimi ongi tuletis ehk hetkekiirus. Kui tahame teda leida, peame keskmise kiiruse leidma järjest väiksemate vahemike jaoks ning lootma, et lõpuks koorub välja üks kindel vastus. Sellist järjest väiksemate vahemike uurimist nägime eelmises peatükis piirprot- sesside all. Tuletis ongi määratud piirprotsessiga [lk 313]: tuletis teatud hetkel on võrdne keskmise kiiruse piirväärtusega, kui uuritava ajavahemiku pikkus muutub olematult väikeseks. Matemaatilistes sümbolites tähendab see järgmist: . Konkreetne näide Praktikas on küll hetkekiiruse leidmine võimalik ainult juhul, kui oma liikumist juba
oiste Definitsioon 8.1. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on t¨aidetud tingimused 1. f (a) 2. lim f (x) xa 3. lim f (x) = f (a) xa Definitsioon 8.2. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse pidevaks piirkonnas X, kui funktsioon on pidev selle piirkonna igas punktis. T¨ahistame edaspidi fikseeritud punkti x-ga ja muutuva punkti x + x- ga. Siis piirprotsess x + x x on samav¨a¨arne piirprotsessiga x 0 ja pidevuse punktis x kolmas tingimus on lim f (x + x) = f (x). Viimase x0 tingimuse kirjutame lim f (x + x) - f (x) = 0 ehk arvestades, et x on x0 fikseeritud punkt, st f (x) on kostant lim [f (x + x) - f (x)] = 0 x0 17 Definitsioon 8.3. Vahet f (x + x) - f (x) nimetetakse funktsiooni muu- duks ja t¨ahistatakse y, st
annaabi.ee 
