tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y=f(x). VÕRRAND : yf(a)=p(xa) b) Tuletada joone y=f(x) puutuja võrrand punktis A=(a,f(a)) 35) Valemi y - b = p(x - a) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a, f (a)) kujul y f (a) = p(x - a) , kus p on s tõus. Momendil on p veel t undmatu suurus. 36) Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Olgu l~oikaja AP t~ousunurk t¨ahistatud ga. Seega on l~oikaja AP t~ous p = tan . Täisnurkselt kolmnurgalt näeme, et p = tan = . 37) m¨ooda joont y = f (x). Vastavalt puutuja definitsioonile Kui xa, siis P l¨aheneb punktile A l¨aheneb l~oikaja AP joone y = f (x) puutujale punktis A. Seega l¨aheneb ka l~oikaja t~ous p puutuja tõusule p
tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y=f(x). VÕRRAND : yf(a)=p(xa) b) Tuletada joone y=f(x) puutuja võrrand punktis A=(a,f(a)) 35) Valemi y - b = p(x - a) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a, f (a)) kujul y f (a) = p(x - a) , kus p on s tõus. Momendil on p veel t undmatu suurus. 36) Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Olgu l~oikaja AP t~ousunurk t¨ahistatud ga. Seega on l~oikaja AP t~ous p = tan . Täisnurkselt kolmnurgalt näeme, et p = tan = . 37) m¨ooda joont y = f (x). Vastavalt puutuja definitsioonile Kui xa, siis P l¨aheneb punktile A l¨aheneb l~oikaja AP joone y = f (x) puutujale punktis A. Seega l¨aheneb ka l~oikaja t~ous p puutuja tõusule p
Kui x , siis eemaldub punkt M = (x,f(x)) l~opmatusse m¨o¨oda joont y = f(x). Kuna y = kx+b on joone y = f(x) asu¨mptoot, siis punkti M kaugus sirgest y = kx + b l¨aheneb nullile. T¨ahistame punkti M ristprojektsiooni sirgel y = kx + b t¨ahega P. Kuna punkti M kaugus sirgest y = kx + b v~ordub l~oigu MP pikkusega |MP|, saame lim x |MP| = 0. ¨ Uhtlasi n¨aeme jooniselt, et |MN| = |MP| /cos , kus on asu¨mptoodi t~ousunurk. Kuna j¨a¨ab muutumatuks protsessis x , siis lim x |MN| = lim x |MP| /cos = 1 /cos lim x |MP| = 0 Edasi paneme t¨ahele, et |MN| v~ordub funktsioonide f(x) ja kx + b v¨a¨artuste vahega, st |MN| = f(x) - kx - b. Seega lim x [f(x) - kx - b] = 0 Tuues x sulgude ette saame lim x x *(f(x)/ x)- k (b/ x)= 0. Selles valemis oleva korrutise x * (f(x)/ x)- k (b/ x) esimene tegur x l¨aheneb l~opmatusele, kuid korrutis ise l¨aheneb nullile. J¨arelikult peab teine tegur l¨ahenema nullile, st
1. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| =a kui a 0; -a kui a < 0. Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a||b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| ||a| - |b|| Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - ,a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-,a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x - a| < . Tõkestatud hulgad. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A (a,b). 2. Jäävad ja muutuvad suurused. Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nim...
dy f (x) = = dt = . dx dx dt (t) See t~oestabki valemi (3.8). 64 3.5 Joone puutuja ja normaalsirge. Diferentseeru- vuse geomeetriline sisu. Sirge t~ousunurk ja t~ ous. Tasandil xy - teljestikus antud sirge s t~ousunurgaks nimetatakse selle sirge ja x - telje positiivse suuna vahelist nurka, mille v¨a¨artus ab pooll~oigule [0, ). T~ousva sirge korral (0, 2 ) ja langeva radiaanides j¨a¨ sirge korral ( 2 , ) (vt joonis 3.1). Sirge s t~ ousuks p nimetatakse tema t~ousunurga tangensit, st p = tan . yy yy
dy dt (t) f (x) = = dx = . dx dt (t) See t~oestabki valemi (3.8). 64 3.5 Joone puutuja ja normaalsirge. Diferentseeru- vuse geomeetriline sisu. Sirge t~ousunurk ja t~ ous. Tasandil xy - teljestikus antud sirge s t~ ousunurgaks nimetatakse selle sirge ja x - telje positiivse suuna vahelist nurka, mille v¨a¨artus radiaanides j¨a¨ab pooll~oigule [0, ). T~ousva sirge korral (0, 2 ) ja langeva sirge korral ( 2 , ) (vt joonis 3.1). Sirge s t~ ousuks p nimetatakse tema t~ousunurga tangensit, st p = tan . yy yy
juhul samuti . Selle nurga vastaskaateti RQ pikkus on y ja l¨ahiskaateti P R pikkus x. Seega y tan = x st funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhe t¨ahendab l~oikaja P Q t~ousu. Kui n¨ uu ¨d x 0, siis x + x x, seega graafikul Q P ja l~oikaja P Q hakkab l¨ahenema funktsiooni graafikule punktis P t~ommatud puutujale. Puutuja t~ousunurk ja funktsiooni tuletis y f (x) = lim = lim tan = tan x0 x t¨ahendab geomeetriliselt funktsiooni graafikule punktis abstsissiga x t~omma- tud puutuja t~ousunurga tangensit ehk puutuja t~ousu. Kui vaatleme muutujat x ajana, siis kirjeldab funktsioon y = f (x) min- gisugust ajas kulgevat protsessi, n¨aiteks sirgjoonelist liikumist. Ajahetkel x
annaabi.ee 
