Hulkade H1,....,Hn, otsekorrutiseks e Cartesiuse korrutiseks H1x...xHn nim kõigi järjendite (h1...hn), kus hkHk (k=1,...,n), hulka. Järjendit nim ka korteeziks. Kui Hk=H (k=1,...,n), siis n teguri, millest igaüks on H, otsekorrutise H x...x H jaoks kasutatakse ka tähistust Hn Aritmeetiliseks punktruumiks Rn nimetatakse otsekorrutist Rn, kus R tähistab reaalarvude hulka. Aritmeetiliseks vektorruumiks Rn nimetatakse hulka Rn, mille elementidel on defineeritud liitmine ja arvuga korrutamine järgmiselt: (x1,...,xn)+(y1,...,yn)=(def) (x1+y1,...,xn+yn), (x1,...,xn)=(def) (x1,...,xn), kus (x1,...,xn), y1,...,yn) Rn ja R Ruumi Rn punktide p(x1,...,xn) ja Q(y1,...,yn) vaheliseks kauguseks nim arvu d(P,Q)= ( x1 - y1) 2 + ... + ( xn - yn) 2 . Vektorruumi Rn vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,..,yn) skalaarkorrutiseks nim arvu x*y=x1y1+...+xnyn Vektorruumi Rn nullvektorist erinevate vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,...,yn) vahelise nurga koosinuse...
Kahe hulga A ja B vaheks nimetatakse hulka AB, mis koosneb kõigist niisugustest elementidest, mis kuuluvad hulka A, aga ei kuulu hulka B. AB={x:x A ja x B} 3 Kahe hulga A ja B sümmeetriliseks vaheks nimetatakse hulka AB, mis koosneb kõigist elementidest, mis kuuluvad kas hulka A või hulka B, aga mitte mõlemasse korraga. AB={x: (xA ja xB) või (xA ja xB)} Kahe hulga A ja B otsekorrutiseks nimetatakse hulka AxB, mis koosneb kõigist järjestatud paaridest (x,y), kus xA ja yB. AxB={(x,y) : xA ja yB}. Paarides on elementide järjekord oluline. Otsekorrutist AxA nimetatakse hulga A otseruuduks ja tähistatakse A2. Üldiselt, otsekorrutist Ax...xA, kus hulk A esineb n korda, nimetatakse hulga A n-daks otseastmeks ja tähistatakse An. Otsekorrutise omadused: 1. Otsekorrutis tühja hulgaga a. Ax= xA= 2. Distributiivsus a
antud probleemis või mõttekäigus vaadeldavaid hulki. e. Hulga A täiendiks A' nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik need universaalse hulga elemendid, mis ei kuulu hulka A: A' = { x U | (x A) } = { x U | ¬(x A) }. f. Venni diagrammid, tehete algebralised omadus, nende tõestamine ja kontroll https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php?id=78718 lk 5 12 16) a. Hulkade A ja B otsekorrutiseks e. Descartes'i korrutiseks nimetatakse hulka A × B, mille moodustavad kõik järjestatud paarid (a, b), kus a A ja b B: A × B = {(a, b) | a A & b B }. b. Hulga A n-ndaks otseastmeks An nimetatakse otsekorrutist A×...× A, kus A esineb n korda. c. Otsekorrutise omadused. https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php? id=78718 lk 13 15. Funktsioonid ja relatsioonid 17) a. Def
See aga tähendab, et x A või x B. Seega peab kehtima, et x A' või x B' ehk teiste sõnadega, x A' B'. Vastupidiselt, olgu nüüd x A' B'. Siis x A' või x B', mis omakorda tähendab, et x A või x B. Kuna x ei kuulu vähemalt ühte hulkadest A või B, siis ta ei saa olla nende ühisosas ehk x A B. See on aga sama mis x (A B)'. Seega saame mõlemapidisest arutelust järeldada, et hulgad (A B)' ja A' B' on võrdsed. Definitsioon Hulkade A ja B otsekorrutiseks A × B nimetatakse kõikide paaride (a, b) hulka, kus a A ja b B, seejuures elementide järjekord paarides on oluline. Seega A × B={(a , b)a A , b B }. Paaride võrdsus tähendab vastavate paariliste võrdsust (a , b)=(c , d) a=c b=d . Hulkade otsekorrutamine pole üldjuhul kommutatiivne, s.o kui A B, siis A × B B × A. Näide: Olgu A = {0, 1} ja B = {2, 1}. Siis A × B = {(0, 2),(0, 1),(1, 2),(1, 1)} ja
AB = A∩ B’, AΔB = A∩ B’ ∪ B∩ A’ o 5. Vahe seosed teiste tehetega: AB = A (A∩ B), A∪ B = A∪ (B A), (AB)C = A(B∪ C). o 6. Sümmeetriline vahe avaldub sümmeetriliselt A ja B suhtes: AΔ B = (A∪ B) (A∩ B] 16. Hulkade otsekorrutis. Otseaste. Otsekorrutise omadused [3, 4, 5] Hulkade otsekorrutis 13 o DEF: Hulkade A ja B otsekorrutiseks e. Descartes’i korrutiseks nimetatakse hulka A × B, mille moodustavad kõik järjestatud paarid (a, b), kus a∈A ja b∈B: A × B = { (a, b) | a∈A & b∈B } Otseaste o DEF: Hulga A n-ndaks otseastmeks An nimetatakse otsekorrutist A × … × A, kus A esineb n korda. Otsekorrutise omadused o Otsekorrutis ei ole kommutatiivne ega assotsiatiivne operatsioon. o Tõestus. Juba üheelemendiliste hulkade puhul koosnevad vastavad otsekorrutised
Ühendatavad relatsioonid peavad olema ühilduvad (ingl. k. union compatible). See tähendab, et ühendatavates 7 relatsioonides peab olema ühepalju atribuute, kusjuures erinevate relatsioonide vastavatel/ühendatavatel atribuutidel peab olema sama domeen. Ühilduvate relatsioonide saamiseks võib kasutada projektsiooni operatsiooni. Otsekorrutis ehk Cartesiuse ristkorrutis - Hulkade X ja Y otsekorrutiseks nimetatakse hulka X x Y, mis koosneb kõikvõimalikest paaridest (x; y), kus xX ja yY. Relatsioonialgebras on vaadeldavateks hulkadeks relatsioonid, mis koosnevad hulgast kirjetest. Otsekorrutis annab tulemuseks relatsiooni, kus iga relatsiooni R kirje on ühendatud iga relatsiooni S kirjega. Sageli võib korrutise tulemuseks olla väga suur andmehulk. Kui relatsioonil R on I kirjet ja N atribuuti ja relatsioonil S on J kirjet ja M atribuuti, siis korrutise tulemusena
i∈I{i1 ,...,in } = { (xi )i∈I | xi ∈ Ai , kui i ∈ {i1 , . . . , in }; xi ∈ Xi , kui i ∈ {i1 , . . . , in } }. (5.3) Kuna tehted ∩ ja ∪ on omavahel seotud distributiivsusega, siis hulgad kujul (5.3) moodustavadki topoloogia T baasi. Tekkinud topoloogilist ruumi (X, T ) nimetatakse topoloogilis- te ruumide (Xi , Ti ), i ∈ I, otsekorrutiseks. Erijuhul, kui I on l˜oplik ja I = {1, 2, . . . , n}, on topoloogi- liste ruumide (Xi , Ti ), i ∈ I, otsekorrutise X = X1 × · · · × Xn topoloogia T baasiks ruumide Xi lahtiste hulkade Ai ∈ Ti otsekorrutised A1 × · · · × An . Kui Bi (xi ) on punkti xi ∈ Xi u ¨mbruste baas, siis punkti x = (x1 ; . . . ; xn ) u ¨mbruste baas on B(x) = { U1 × . . . × Un | U1 ∈ B1 (x1 ), . . . , Un ∈ Bn (xn ) }. Meetriliste ruumide otsekorrutise vaatlemiseks t˜oestame Lemma 5
annaabi.ee 
