( MA EI TEADNUD, KAS TÕESTUST ON VAJA, AGA IGAKSJUHUKS PANIN) Tõestus. Vaatleme osasummade osajada k+1 S2n= ak Selles jadas võtame liikmed paarikaupa järgmisel viisil S2n = (a1 - a2) + (a3 - a4) +…+ (a2n-1 - a2n) Esimese tingimuse tõttu on kõik liikmed selles avaldises positiivsed ja ühe liikme lisamine suurendab summat, st jada on kasvav. Teiseks, kirjutades S2n = a1 – (a2 -a3)- (a4-a5) -…+ u2n, näeme, et osasummad S2n on tõkestatud, sest S2n < a1. Seega on jada, mille üldliige on S2n kasvav ja tõkestatud, järelikult koonduv, st ∃ 2n =S Paarituarvulise indeksiga osasummade jada liige S2n+1 = S2n + a2n+1 ja teoreemi teise eelduse tõttu 2n+1= 2n+ 2n+1=S. Aga siis ka lim Sn = S, mis tähendabki, et rida koondub. 5. Arvridade absoluutne ja tingimisi koonduvus. Absoluutselt koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus. Tingimisi koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus.
( MA EI TEADNUD, KAS TÕESTUST ON VAJA, AGA IGAKSJUHUKS PANIN) Tõestus. Vaatleme osasummade osajada k+1 S2n= ak Selles jadas võtame liikmed paarikaupa järgmisel viisil S2n = (a1 - a2) + (a3 - a4) +...+ (a2n-1 - a2n) Esimese tingimuse tõttu on kõik liikmed selles avaldises positiivsed ja ühe liikme lisamine suurendab summat, st jada on kasvav. Teiseks, kirjutades S2n = a1 (a2 -a3)- (a4-a5) -...+ u2n, näeme, et osasummad S2n on tõkestatud, sest S2n < a1. Seega on jada, mille üldliige on S2n kasvav ja tõkestatud, järelikult koonduv, st 2n =S Paarituarvulise indeksiga osasummade jada liige S2n+1 = S2n + a2n+1 ja teoreemi teise eelduse tõttu 2n+1 = 2n+ 2n+1 =S. Aga siis ka lim Sn = S, mis tähendabki, et rida koondub. 5. Arvridade absoluutne ja tingimisi koonduvus. Absoluutselt koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus
( MA EI TEADNUD, KAS TÕESTUST ON VAJA, AGA IGAKSJUHUKS PANIN) Tõestus. Vaatleme osasummade osajada k+1 S2n= ak Selles jadas võtame liikmed paarikaupa järgmisel viisil S2n = (a1 - a2) + (a3 - a4) +...+ (a2n-1 - a2n) Esimese tingimuse tõttu on kõik liikmed selles avaldises positiivsed ja ühe liikme lisamine suurendab summat, st jada on kasvav. Teiseks, kirjutades S2n = a1 (a2 -a3)- (a4-a5) -...+ u2n, näeme, et osasummad S2n on tõkestatud, sest S2n < a1. Seega on jada, mille üldliige on S2n kasvav ja tõkestatud, järelikult koonduv, st 2n =S Paarituarvulise indeksiga osasummade jada liige S2n+1 = S2n + a2n+1 ja teoreemi teise eelduse tõttu 2n+1 = 2n+ 2n+1 =S. Aga siis ka lim Sn = S, mis tähendabki, et rida koondub. 5. Arvridade absoluutne ja tingimisi koonduvus. Absoluutselt koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus
Muutuvate märkidega read, ehk read, mille liikmete märgid vahelduvad, s.t. read, millel on kuju u 1-u2+u3-u4+...+u2k-1-u2k+..., kus un>0. Teoreem 38.1. (Leibnizi teoreem). Kui vahelduvate märkidega reas u1-u2+u3-u4 (un>0) on liikmed sellised, et u1>u2> u3>... ja , siis on see rida koonduv ja tema summa on positiivne arv, mis ei ületa rea esimest liiget. Leibnizi teoreemi saab geomeetriliselt illustreerida järgmiselt: Kanname arvteljele osasummad. Osamuudusummade vastavad punktid lähenevad teatud punktile s, mis kujutab rea summat. Seejuures asetsevad paarisnumbrilistele osasummadele vastavad punktid punktist s vasakul ja paaritunumbrilistele osasummadele vastavad punktid paremal. 16. Muutuvate märkidega read
S2n = a1 – (a2 -a3)- (a4-a5) -…+ u2n, näeme, et osasummad S2n on tõkestatud, sest S2n < a1. Seega on jada, mille üldliige on 𝑥
. . + un + . . . nimetame arvreaks (enamasti lühidalt reaks) (series, ряд ), arve uk selle rea liikmeteks (term). ∞ Tavaliselt tähistame rida u1 + u2 + . . . + un + . . . sümboliga uk . P k=1 ∞ Antud rea uk puhul moodustame tema osasummad (partial sum, частичная сумма) P k=1 n X s1 := u1 , s2 := u1 + u2 , . . . , sn := uk , . . . k=1 ja osasummade jada (sn ). ∞
uk vk , (8.7) 4 siis 1) rea (8.6) koonduvusest j¨areldub rea (8.1) koonduvus ja 2) rea (8.1) hajuvusest j¨areldub rea (8.6) hajuvus. T~oestus. L~opliku arvu liikmete lisamine v~oi ¨araj¨atmine rea koonduvust ei m~ojuta, seep¨arast v~oime u¨ldsust kitsendamata eeldada, et tingimus (8.7) on t¨aidetud ka indeksite 1 k k0 - 1 korral. T¨ahistame rea (8.1) osasummad n Sn = uk k=1 ja rea (8.6) osasummad n n = vk k=1 Kui rida (8.6) koondub, siis osasummade jadal 1 , 2 , . . . , n , . . . , (8.8)
annaabi.ee 
