üldine teist järku joonintegraal. Olgu ruumis antud joon AB, kus A on joone alguspunkt ja B on joone lõpp-punkt. Olgu joonel AB määratud funktsioon z=f(x,y,z). 1. Jaotame joone AB osadeks punktidega A=A0,A1,A2,...,An=B, saame n osakaart (k=1,2,...,n). Olgu dk osakaare diameeter ning 2. Igal osakaarel valime suvalise punkti ning leiame vastava väärtuse Lähendame osakaari vektoritega ning leiame antud vektorite projektsioonid x-teljele. Saame vastavad arvud x k (xk= xk-xk-1)
K kõrgus punktis x on f (x)). Seega on ristlõike pindala ja üldisest keha ruumala valemist saame järgmise valemi V ruumala jaoks: 45. Tuletada joone pikkuse valem Olgu antud joon võrrandiga y = f (x), kus a x b. Tähistame selle joone pikkuse l-ga. Meid huvitab valem l arvutamiseks. Eeldame, et f (x) on diferentseeruv. Jaotame lõigu [a, b] osalõikudeks punktidega Tähistame =, . Vaatleme osalõigu [] kohale jäävat joone osakaart . Kuna f (x) on eelduse kohaselt diferentseeruv, on vaadeldav joon sile. Sile joon on aga sirgestuv (st suurendamisel muutub "sirgemaks"). Järelikult on väikese korral osakaar ligikaudselt sirglõik. pikkuse arvutamisel võib kasutada Pythagorase teoreemi. Tähistades pikkuse samuti -ga saame Edasi avaldame selles valemis esineva funktsiooni muudu argumendi muudu kaudu. Selleks sobib kasutada Lagrange'i teoreemi. Nimetatud teoreemi põhjal leidub vahemikus () punkti nii, et kehtib võrdus
on f (x)). Seega on ristlõike pindala ja üldisest keha ruumala valemist saame järgmise valemi V ruumala jaoks: 45. Tuletada joone pikkuse valem Olgu antud joon võrrandiga y = f (x), kus a x b. Tähistame selle joone pikkuse l-ga. Meid huvitab valem l arvutamiseks. Eeldame, et f (x) on diferentseeruv. Jaotame lõigu [a, b] osalõikudeks punktidega Tähistame =, . Vaatleme osalõigu [] kohale jäävat joone osakaart . Kuna f (x) on eelduse kohaselt diferentseeruv, on vaadeldav joon sile. Sile joon on aga sirgestuv (st suurendamisel muutub "sirgemaks"). Järelikult on väikese korral osakaar ligikaudselt sirglõik. pikkuse arvutamisel võib kasutada Pythagorase teoreemi. Tähistades pikkuse samuti -ga saame Edasi avaldame selles valemis esineva funktsiooni muudu argumendi muudu kaudu. Selleks sobib kasutada Lagrange'i teoreemi. Nimetatud teoreemi põhjal leidub vahemikus () punkti nii, et kehtib võrdus
poordkeha ruumala valem.(Vaatame konspekt paberises 134-136, voi 138-140) 45. Tuletada joone pikkuse valem. Joone pikkuse arvutamine. Olgu antud joon v~orrandiga y = f(x), kus a x b. T.ahistame selle joone pikkuse l- ga. Meid huvitab valem l arvutamiseks. Eeldame, et f(x) on diferentseeruv. Jaotame l~oigu [a, b] osal~oikudeks punktidega a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b (joonis 5.8). T.ahistame xi = xi - xi-1 , yi = f(xi) - f(xi-1) Vaatleme osal~oigu [xi-1, xi] kohale j.a.avat joone osakaart li. See osakaar on suurendatult kujutatud joonisel 5.9. Kuna f(x) on eelduse kohaselt diferentseeruv, on vaadeldav joon sile. Sile joon on aga sirgestuv (st suurendamisel muutub "sirgemaks"). J.arelikult on v.aikese xi korral osakaar li ligikaudselt sirgl~oik ja joonisel 5.9 on ligikaudne t.aisnurkne kolmnurk. Seega v~oime me li pikkuse arvutamisel kasutada Pythagorase teoreemi. T.ahistades li pikkuse samuti li-ga saame li (xi)^2 + (yi)^2
8 Joone pikkuse arvutamine. Olgu antud joon v~orrandiga y = f (x), kus a x b. T¨ahistame selle joone pikkuse l-ga. Meid huvitab valem l arvutamiseks. Eeldame, et f (x) on diferentseeruv. Jaotame l~oigu [a, b] osal~oikudeks punk- tidega a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b (joonis 5.8). T¨ahistame xi = xi - xi-1 , yi = f (xi ) - f (xi-1 ) . Vaatleme osal~oigu [xi-1 , xi ] kohale j¨a¨avat joone osakaart li . See osakaar on suurendatult kujutatud joonisel 5.9. · li yi · xi Joonis 5.9 Kuna f (x) on eelduse kohaselt diferentseeruv, on vaadeldav joon sile. Sile joon on aga sirgestuv (st suurendamisel muutub "sirgemaks")
8 Joone pikkuse arvutamine. Olgu antud joon v~orrandiga y = f (x), kus a x b. T¨ahistame selle joone pikkuse l-ga. Meid huvitab valem l arvutamiseks. Eeldame, et f (x) on diferentseeruv. Jaotame l~oigu [a, b] osal~oikudeks punk- tidega a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b (joonis 5.8). T¨ahistame xi = xi - xi-1 , yi = f (xi ) - f (xi-1 ) . Vaatleme osal~oigu [xi-1 , xi ] kohale j¨a¨avat joone osakaart li . See osakaar on suurendatult kujutatud joonisel 5.9. · li yi · xi Joonis 5.9 Kuna f (x) on eelduse kohaselt diferentseeruv, on vaadeldav joon sile. Sile
Ligikaudu tehtud l¨ahenduste t~ottu: kaart Pk-1 Pk l¨ahendasime vektoritega ---- - Pk-1 Pk ja muutuvat j~ouvektorit F = (X(x, y); Y (x, y)) konstantse vektoriga - Fk = (X(k , k ); Y (k , k )). On ilmne, et mida tihedamalt v~otta jaotuspunktid, seda t¨apsemalt l¨ahendab ---- - vektor Pk-1 Pk osakaart Pk-1 Pk ja konstantne vektor Fk = (X(k , k ); Y (k , k )) - osakaarel muutuvat vektorit F = (X(x, y); Y (x, y)) Definitsioon. Kui summast (7.6) piirv¨a¨artus piirprotsessis max sk 0 ja see piirv¨a¨artus ei s~oltu joone AB osakaarteks jaotamise viisist ega punk- tide Qk valikust osakaartel, siis seda piirv¨a¨artust nimetatakse teist liiki joo- nintegraaliks ehk joonintegraaliks koordinaatide j¨argi ja t¨ahistatakse
annaabi.ee 
