muutuja funktsioon z=f(x,y,z). Käitume järgmiselt: 1. Jaotame joone l suvalisel viisil punktidega A= A0,A1,A2,..., An=B osakaarteks . Olgu sk osakaare pikkuseks (x=1,2,...,n) ning 2. Valime igal osakaarel juhusliku punkti 3. Edasi moodustame korrutised (k=1,2,...,n). 4. Leiame summa 5. Olgu 0 ning leiame Kui eksisteerib piirväärtus ja see ei sõltu joone AB osakaarte jaotamise viisist ega punktide siis seda piirväärtust nim. funktsiooni z=f(z,y,z) esimest liiki joonintegraaliks
joont. (Lk. 27-30 ) 23. Defineerida teist liiki joonintegraal tasandil ja kolmemõõtmelises ruumis. · TASANDIL: Olgu xy- tasandil antud lõpliku pikkusega joon L otspunktidega M ja N. Peale selle olgu antud kaks funktsiooni F(P) ja G(P), mis on määratud iga P L korral. Jaotame joone L n osakaareks punktidega M= M0, M1, M2, ....,Mn =N suunaga punkti M poolt N poole. Olgu punkti Mi koordinaadid xi ja yi .Tähistame xi = xi - xi-1 , yi = yi -yi-1 . Valime igal osakaarel Mi-1Mi ühe punkti Pi. Moodustame summa An= [ F (Pi) xi + G (Pi) yi ]. Summat nim. Funktsioonide F ja G integraalsummaks koordinaatide järgi joonel L. Tähistame d i=Mi-1Mi. Olgu n maksimaalne arvudest d1 ,d2,..dn . Integraalsumma An piirväärtust protsessis n 0 nim funktsioonide F ja G teist liiki e joonintegraaliks koordinaatide järgi üle joone L ja tähistatakse F(x,y)dx + G(x,y)dy. L
k =1 ning = max sk 1 k n Def: lim f (Qk ) sk 0 k =1 ja piirv ei sõltu sellest kuidas on valitud punktid Pk joonel AB-ni ega sellest kuidas valitud punktid Qk osakaarel siis seda piirv nim f-ni f(x; y) esimest liiki B joonintegraaliks kaarepikkuse järgi. Tähistatakse: f ( x; y )ds ; f ( x; y )ds ; f ( x; y )ds . (Kui AB AB L A
(P)(Pi), kui PSi. z=z z'=0 z'=0 zz'=1 , kus Ai on jõu F poolt osakaarel [Mi-1,Mi] cos - sin mSi=(Pi)Si Asendame materiaalse pinnatüki Si punkti Pi kontsentreeritud
OMADUSED: 1)Joonintegraal ei sõltu integreerimistee läbimise suunast. ʃABf(x,y,z)ds=ʃBAf(x,y,z)ds 2)Joonintegraal on aditiivne. ʃABf(x,y,z)ds=ʃACf(x,y,z)ds + ʃCBf(x,y,z)ds 3)Joonintegraal on lineaarne, iga arvu k ja l korral VALEM 12. II liiki joonintegraal, selle omadused ja arvutamine, näide Olgu xyz-ruumis antud joon AB ning sellel joonel kolmemuutuja funktsioon f(x,y,z). Jaotame AB n osaks punktiga Pi(0; 1; …; n), kus A=P0 ja B=Pn. Valime igal osakaarel punkti QiЄ[Pi-1;Pi] ning moodustame summa: VALEM DEF. Kui sellel summal on maxΔxi→0 korral olemas piirväärtus sõltumata joone osadeks jaotamise viisist ega punktide Qi valikust, siis nimetatakse seda piirväärtust funktsiooni teist liiki jooneintegraaliks ehk joonintegraaliks koordinaadi x järgi üle joone AB ja tähistatakse VALEM!! Kui joon asub x-teljel, siis on see integraal määramatu DEF. Olgu joonel AB määratud kolm funktsiooni, siis VALEM nimetatakse
nimetatakse joont siledaks. Märkus. Me vaatleme edaspidi nn. normaalseid jooni, s.t. jooni, mis on sirgestuvad või isegi siledad. Samuti jätame välja juhud, kus joon lõikub iseendaga. Olgu joonel AB antud kolme muutuja funktsioon f x, y, z . Jaotame joone AB n osaks punktidega P i (i 0, 1, , n), kus A P 0 ja B P n . Saadud osakaarte P i 1 P i pikkused olgu s i , kusjuures kaare pikkust mõõdame alati alguspunktist lõpp-punkti poole. Valime igal osakaarel punkti Q i Pi 1, Pi ja moodustame summa n i 1 f Qi si. Definitsioon. Kui sellel summal on max s i 0 korral olemas piirväärtus sõltumata joone osadeks jaotamise viisist ega punktide Q i valikust, siis nimetatakse seda
7 Joonintegraalid 7.1 Esimest liiki joonintegraali definitsioon ja omadu- sed Olgu antud tasandiline k~overjoon otspunktidega A ja B ja olgu sellel joonel defineeritud kahe muutuja funktsioon f (x, y), st igale joone punktile (x, y) on vastavusse seatud v¨a¨artus f (x, y). Jaotame joone AB suvalisel viisil punk- tidega A = P0 , P1 , P2 , . . . , Pk-1 , Pk , . . . , Pn = B osakaarteks Pk-1 Pk , k = 1, 2, . . . , n. Valime igal osakaarel juhusliku punkti Qk (k , k ) Pk-1 Pk . y Pk-1 Qk k B Pk x) f( =
annaabi.ee 
