Aritmeetiliste ja geomeetriliste vektorite vektorruum. Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus Vektorite lineaarse sõltuvuse ja sõltumatuse definitsioonid. Vektorite hulga lineaarse sõltuvuse tarvilik ja piisav tingimus. Vektorruumi baas ja mõõde. Vektori koordinaadid. Eukleidiline vektorruum Vektorite skalaarkorrutis. Cauchy-Bunjakovski võrratus. Ühikvektor, kahe vektori vaheline nurk. Meetriline maatriks, vektorite skalaarkorrutise leidmine analüütilisel kujul. Ortogonaalsete vektorite süsteemid Ortogonaalsete vektorite süsteemide lineaarne sõltumatus. Ristbaas. Suunakoosinused. Vektorite vektorkorrutis ja segakorrutis Vektorite vektorkorrutise mõiste, arvutamine, omadused ja geomeetriline tähendus. Vektorite segakorrutise mõiste, arvutamine, omadused ja geomeetriline tähendus. Sirge ja tasand ruumis Sirge vektorvõrrand, parameetrilised võrrandid ja kanoonilised võrrandid. Tasandi vektorvõrrand, parameetrilised võrrandid. Tasandi üldvõrrand. Sirge
Koonduvusraadiuse leidmine. Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega....................... 8 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi..............9 10. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral:.......................................................................................... 9 11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tsebõsovi polünoomide näitel................................................................................................................ 11 12.Fourier' rida trigonomeetrilise süsteemi järgi. Fourier' siiunus- ja koosinusrida. Fourier' rea komplekskuju........................................................................................................................ 12 13. Fourier' integraalvalem..........................................
Koonduvusraadiuse leidmine. Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega....................... 8 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi..............9 10. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral:.......................................................................................... 9 11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tsebõsovi polünoomide näitel................................................................................................................ 11 12.Fourier' rida trigonomeetrilise süsteemi järgi. Fourier' siiunus- ja koosinusrida. Fourier' rea komplekskuju........................................................................................................................ 12 13. Fourier' integraalvalem..........................................
Minnes piirile n , saame Besseli võrratuse (f,f)≥ Võrdust (f,f)= nimetatakse Parsevali võrduseks. Lause Funktsiooni f(x) Fourier’ rida koondub keskmiselt funktsiooniks f(x) parajasti siis, kui funktsiooni f(x) korral kehtib Parsevali võrdus. Definitsioon Ortonormaalset süsteemi , mille korral Parsevali võrdus kehtib iga integreeruva ruuduga funktsiooni f(x) korral, nimetatakse täielikuks süsteemiks. 11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tšebõšovi polünoomide näitel. Definitsioon: (1-liiki) Tšebõšovi polünoomideks nimetatakse funktsioone, mis x ϵ [-1,1] korral on defineeritud kujul (k = 0, 1, 2, …) Tk=(x) := cos(k arccos x). Lause: Kehtib rekurrentne seos T0(x) = 1, T1(x) = x, Tk+2(x) = 2x Tk+1(x) – Tk(x) Tõestus: T0(x) = cos(0) = 1, T1(x) := cos(arccos x) = x Rekurrentse seose jaoks vaatame valemit
21. Funktsioonide ortogonaalsus Erinevatele omaväärtustele vastavad hermiitilise operaatori omafunktsioonid on ortogonaalsed (st asetsevad risti). Tõestust vaata p 20. Üldiselt võib operaatori ühele omaväärtusele vastata mitu omafunktsiooni, mis ei tarvitse olla ortogonaalsed. Ent lineaarsete kombinatsioonide abil saab alati kõiki sõltumatuid omafunktsioone ortogonaliseerida. Seega võime alati oletada, et operaatori kõik funktsioonid moodustavad ortogonaalsete funktsioonide süsteemi. Funktsioonide süsteemi, mille iga element on normeeritud ja kõikide teiste elementidega ortogonaalne, nimetatakse ortonormeeritud süsteemiks (ON- süsteem). 22. Funktsioonide lineaarne sõltumatus Hermiitilise operaatori erinevatele omaväärtustele vastavad omafunktsioonid on lineaarselt sõltumatud. Tõestust vt p 20. 23. Ortonormeerituse tingimus diskreetse ja pideva spektri korral
𝑘=1 𝑎𝑘 korral eksisteerib lõplik piirväärtuslim √𝑎𝑘 = 𝑞 , siis • juhul q < 1 𝑘 11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tšebõšovi polünoomide näitel. harmoonilse rea ∑∞
funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Olgu D tasandiline piirkond, mis võib võrdustest järeldubki, et Cauchy-Bunjakovksi võrratus muutub võrduseks. Piisavus. Oletame, et mingite vektorite 𝑎⃗ ja 2.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tšebõšovi polünoomide olla ka kogu xy-tasand. Definitsioon 1.Kui igale (x;y) kuulub hulka D on vastavusse seatud muutuja z kindel väärtus, siis 𝑏⃗⃗ korral kehtib võrdus (𝑎⃗ ∗ 𝑏⃗⃗)2 =, →2 →2. Juhul kui 𝑏⃗⃗ =→, siis 𝑏⃗⃗ = 0𝑎⃗, s
annaabi.ee 
