s¨ usteemi (6.64) lahend (x, y) rahuldaks ekstreemum¨ ulesandes n~outud tingimust (x, y) = 0. Seega tuleb (6.64) lahendite hulgast v¨alja selekteerida eelk~oige sel- lised mis rahuldavad tingimust (x, y) = 0. M¨argime et s¨ usteem (6.64) sisaldab 3 tundmatut x, y ja kuid ainult 2 v~orrandit. Lisatundmatu v~oimaldab meil t¨aiendada s¨ usteemi (6.64) kolmanda v~orrandiga (x, y) = 0 viies sellega tund- matute ja v~orrandite arvud omavahel v~ordseks. Saame j¨argmise s¨ usteemi: fx (x, y) + x (x, y) = 0 fy (x, y) + y (x, y) = 0 (6.65) (x, y) = 0 . Tingimusliku ekstreemum¨ ulesande lahendi leidmiseks lahendataksegi 3×3 v~orrandis¨ usteem (6.65). Siiski v~oib ka (6
6. Me nimetame (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks, kui k~ oik tema elemendid on nullid. T¨ ahistame teda abil. N¨aiteks 0 0 0 0 = , = 0 0 0 0 0 on (2,3)-nullmaatriks ja (3,1)-nullmaatriks. Definitsioon 1.7. Maatriksit A nimetame v~ ordseks maatriksiga B, kui neil on sama palju ridu ja sama palju veerge ning u ¨hesugustel kohtadel on v~ ordsed elemendid. T¨ ahistame A=B. N¨aiteks maatriksid a11 a12 . . . a1n b11 b12 . . . b1n a a22 . . . a2n b b22 . . . b2n A = 21 , B = 21 ........
T¨ ahistame teda θ abil. N¨aiteks 0 0 0 0 θ= , θ = 0 0 0 0 0 on (2,3)-nullmaatriks ja (3,1)-nullmaatriks. Definitsioon 1.7. Maatriksit A nimetame v˜ ordseks maatriksiga B, kui neil on sama palju ridu ja sama palju veerge ning u ¨hesugustel kohtadel on v˜ ordsed elemendid. T¨ ahistame A=B. N¨aiteks maatriksid a11 a12 . . . a1n b11 b12 . . . b1n a a22 . . . a2n b b22 . . . b2n
Tuletada vastav valem. Selleks jaotame l~oigu [a, b] n osal~oiguks punktidega x0, x1, x2, . . . . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Fikseerime igal osal~oigul [xi-1, xi] .uhe punkti pi. T.ahistame xi = xi - xi-1 . Vaatleme osal~oigule [xi-1, xi] toetuvat k~overtrapetsi osa Si (joonisel 5.2 on selle k.uljed t~ommatud katkendliku joonega). Kui xi on v.aike, siis muutub pidev funktsioon f osal~oigul [xi-1, xi] v.ahe. Seega v~oib ta sellel osal~oigul lugeda ligikaudselt v~ordseks konstandiga f(pi) ehk f(x) f(pi) kui x [xi-1, xi] . (5.18) J.arelikult on Si ligikaudselt ristk.ulik ja tema pindala avaldub ligikaudu k~orguse ja aluse korrutisena: Si f(pi)xi 39. Maaratud integraali omadused (sh omadused 3 6 koos pohjendustega). Integraali keskvaartusteoreem koos toestusega. Teoreem 5.2 (Integraali keskväärtusteoreem). Kui f(x) on pidev lõigul [a, b], siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c nii, et Tõestus
¨ he punkti pi . T¨ahistame xi = xi - xi-1 . 120 Vaatleme osal~oigule [xi-1 , xi ] toetuvat k~overtrapetsi osa Si (joonisel 5.2 on selle k¨ uljed t~ommatud katkendliku joonega). Kui xi on v¨aike, siis muutub pidev funktsioon f osal~oigul [xi-1 , xi ] v¨ahe. Seega v~oib ta sellel osal~oigul lugeda ligikaudselt v~ordseks konstandiga f (pi ) ehk f (x) f (pi ) kui x [xi-1 , xi ] . (5.18) J¨arelikult on Si ligikaudselt ristk¨ ulik ja tema pindala avaldub ligikaudu k~orguse ja aluse korrutisena: Si f (pi )xi . Terve k~overtrapetsi ligikaudse pindala valemi saame, kui summeerime osapiir- kondade pindalad: n
¨he punkti pi . T¨ahistame xi = xi - xi-1 . 120 Vaatleme osal~oigule [xi-1 , xi ] toetuvat k~overtrapetsi osa Si (joonisel 5.2 on selle k¨ uljed t~ommatud katkendliku joonega). Kui xi on v¨aike, siis muutub pidev funktsioon f osal~oigul [xi-1 , xi ] v¨ahe. Seega v~oib ta sellel osal~oigul lugeda ligikaudselt v~ordseks konstandiga f (pi ) ehk f (x) f (pi ) kui x [xi-1 , xi ] . (5.18) J¨arelikult on Si ligikaudselt ristk¨ ulik ja tema pindala avaldub ligikaudu k~orguse ja aluse korrutisena: Si f (pi )xi . Terve k~overtrapetsi ligikaudse pindala valemi saame, kui summeerime osapiir- kondade pindalad: n
tis. N¨aide 5.1. Leiame (x2 + 3x) sin 2xdx. Siin on integreeritavaks funktsiooniks hulkliikme ja siinuse korrutis. Seega valime ositi integreerimise valemis (5.1) u = x2 + 3x ja dv = sin 2xdx. Edasi leiame funktsiooni u diferentsiaali du = (2x+3)dx ja, kasutades j¨areldust 4.6, funktsiooni 1 v = sin 2xdx = - cos 2x. Funktsiooni v leidmisel on otstarbekas integreerimiskonstant v~otta 2 v~ordseks nulliga, sest hiljem koonduksid seda integreerimiskonstanti sisaldavad liikmed ikkagi v¨alja. Selles v~oib iga lugeja ise veenduda. Ositi integreerimise valemi rakendamisel saame n¨ uu ¨d, et 1 1 (x2 + 3x) sin 2xdx = - (x2 + 3x) cos 2x - (2x + 3) - cos 2xdx
annaabi.ee 
