T 6= 0, et iga xkuulub X korral kui x + T kuulubX kehtib f (x + T) = f (x).
V¨ahimat sellist positiivset konstanti T, juhul kui selline leidub,
nimetatakse funktsiooni f perioodiks.
Definitsioon 5
Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks hulgal tyhihulkeikuulu= D X, kui iga
x1,x2 2D v˜orratusest x1
tis, siis on see funktsioon u uhene. Nii on see n¨aiteks kuupfunktsiooni y = x3 ¨ ks¨ graafikuga. Seevastu ruutfunktsiooni y = x2 graafikut (parabooli) l¨abib x- teljega paralleelne ja selle telje peal asuv sirge kahes punktis. Nagu n¨agime, ei ole viimasel juhul tegemist u ¨ks¨uhese funktsiooniga. 8 ¨ uhese funktsiooni p¨ Uks¨ o¨ ordfunktsioon. Uks¨ ¨ uhese funktsiooni y = f (x) p¨o¨ordfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f (x)-le funktsiooni f v¨a¨artuste hulgast vastavusse x-i. P¨o¨ordfunktsiooni avaldise saame, kui lahen- dame v~orrandi y = f (x) muutuja x suhtes. P¨o¨ordfunktsioonis funktsiooni argu- ment ja s~oltuv muutuja vahetavad oma kohad. See t¨ahendab, et kui funktsiooni f argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks y, siis funktsiooni f p¨o¨ordfunktsiooni argumendiks on y ja s~oltuvaks muutujaks x
tis, siis on see funktsioon u¨ks¨uhene. Nii on see n¨aiteks kuupfunktsiooni y = x3 graafikuga. Seevastu ruutfunktsiooni y = x2 graafikut (parabooli) l¨abib x- teljega paralleelne ja selle telje peal asuv sirge kahes punktis. Nagu n¨agime, ei ole viimasel juhul tegemist u ¨ks¨ uhese funktsiooniga. 8 ¨ uhese funktsiooni p¨ Uks¨ o¨ ordfunktsioon. Uks¨ ¨ uhese funktsiooni y = f (x) p¨o¨ordfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f (x)-le funktsiooni f v¨a¨artuste hulgast vastavusse x-i. P¨o¨ordfunktsiooni avaldise saame, kui lahen- dame v~orrandi y = f (x) muutuja x suhtes. P¨o¨ordfunktsioonis funktsiooni argu- ment ja s~oltuv muutuja vahetavad oma kohad. See t¨ahendab, et kui funktsiooni f argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks y, siis funktsiooni f p¨o¨ordfunktsiooni argumendiks on y ja s~oltuvaks muutujaks x
3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul pidevate funktsioonide omadused 14. Funktsiooni katkevuspunktid 15
ilmutada. Tuletise v~oib arvutada otseselt, l¨ahtudes funktsiooni m¨a¨aravast v~orrandist F(x,y) = 0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et k~oik y-it sisaldavad liikmed selles v~orrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y = f(x) Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Olgu u¨ksu¨hese funktsiooni y = f(x) p¨o¨ordfunktsioon x = g(y). Siis kehtib valem g'[f(x)] = 1/f'(x) . T~oestus. Funktsiooni f argument on x ja s~oltuv muutuja y. Seega f'(x) = dy /dx. P¨o¨ordfunktsiooni x = g(y) argument on y ja s~oltuv muutuja x. J¨arelikult g'(y) = dx /dy. Kasutades neid valemeid arvutame: g'[f(x)] = g'(y) = dx/dy = 1/dy/dx = 1/f'(x) . Parameetrilise funktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Olgu funktsioon y = f(x) antud parameetrilisel kujul v~orranditega x = (t) y = (t). Siis kehtib valem
Definitsioon 13. Funktsiooni y = f (x) (x X) p¨ o¨ordfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x = f -1 (y) , mis igale arvule y Y = f (X) seab vastavusse arvu x X, kusjuures y = f (x), st f -1 f y - x x - y. Kui hulgal X m¨ a¨aratud funktsiooni y = f (x) erinevatele argumendi v¨a¨artustele x vastavad funktsiooni erinevad v¨ a¨artused y, siis p¨o¨ordfunktsioon x = f -1 (y) on u ¨hene. Leiame N¨aites 4 esitatud funktsiooni y = log(1 - x) p¨o¨ordfunktsiooni: y = log(1 - x) 10y = 1 - x x = 1 - 10y f -1 (y) = 1 - 10y . ¨ Definitsioon 14. Oeldakse, et funktsioon y = f (x) (x X) on esitatud v~orrandi F (x, y) = 0 abil ilmutamata kujul, kui x X : F (x, f (x)) = 0.
funktsioon) voi Definitsioon (Rangelt monotoonne funktsioon) Rangelt monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma ma¨ aramispiirkonnas ¨ ~ kahanev. on kasvav voi ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 24 / 25 Funktsioon Definitsioon (Po¨ ordfunktsioon) ¨ Funktsiooni y = f (x) (x X ) po¨ ordfunktsiooniks ¨ nimetatakse funktsiooni x = f -1 (y ) , mis igale arvule y Y = f (X ) seab vastavusse arvu x X , kusjuures y = f (x), st f -1 f y - x x - y . ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us
annaabi.ee 
