22. Tuletada ositi integreerimise valem m¨a¨aratud integraali jaoks. 23. Taylori valemi j¨a¨akliikme integraalkuju. 24. Defineerida p¨aratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida l ~opmatute rajadega p¨aratud integraalid. 25. U¨ ks ma¨a¨ratud integraali rakendus omal valikul koos to~estusega. 26
dx ln xdx = x ln x - x· =e-x = e - (e - 1) = 1. 1 1 1 x 1 10 5.6 L~ opmatute rajadega p¨ aratud integraalid P¨aratuid integraale on kahte t¨ uu¨pi. K¨aesolevas punktis vaatleme l~opma- tute rajadega p¨aratuid integraale ja j¨argmises punktis p¨aratuid integraale t~okestamata funktsioonidest. Definitsioon 1. Olgu funktsioon f (x) m¨a¨aratud ja pidev pooll~oigul [a; ). N
(3; 4.5) . K¨ umnendmurrus kasutatakse eraldajana punkti. Kasutusel on j¨ argnevad arvuhulga t¨ahistused: N = {1; 2; 3; . . .} naturaalarvude hulk; k N = {n | n N m N n = k · m} = {k; 2k; 3k; . . .} naturaalarvuga k jaguvate naturaalarvude hulk; Z = {. . . ; -2; -1; 0; 1; 2; . . .} t¨ aisarvude hulk; Q = {x| x = m/n m Z n N } ratsionaalarvude hulk; I irratsionaalarvude hulk, s.o l~ opmatute mitteperioodiliste k¨umnendmurdude hulk; R = Q I reaalarvude hulk; R + positiivsete reaalarvude hulk; R- negatiivsete reaalarvude hulk; C = z | z = x + iy x R y R i2 = -1 kompleksarvude hulk; [a, b] = {x | a x b} l~ oik; (a, b) = {x | a < x < b} vahemik; (a, b] = {x | a < x b} pooll~ oik; [a, b) = {x | a x < b} pooll~ oik. 7 ¨ 1. Uhe muutuja funktsiooni diferentsiaalarvutus 1.1. Funktsioon
43. Ositi integreerimine 44. Osamurrud ja nende integreerimine 45. Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks 46. M~onede trigonomeetriliste funktsioonide klasside integreerimine 47. Irratsionaalavaldiste integreerimine 48. M¨aa¨ratud integraali m~oiste 49. M¨aa¨ratud integraali omadused 50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine. Newton-Leibnizi valem 51. Muutuja vahetus m¨aa¨ratud integraalis 52. Ositi integreerimine (m¨aa¨ratud integraali korral) 53. L~opmatute rajadega p¨aratud integraalid 54. P¨aratud integraalid t~okestamata funktsioonidest 55. M¨aa¨ratud integraali ligikaudne arvutamine. Trapetsvalem 56. Pindala arvutamine ristkoordinaatides 57. Polaarkoordinaadistik. K~oversektori pindala polaarkoordinaatides 58. K~overjoone kaare pikkus Kirjandus 1. N. S. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus, I, II, Tallinn 1983. 2. A. L~ohmus, I. Petersen, H. Roos, K~orgema matemaatika u
= 2x2 sin -4 -2x cos +4 sin = (2x2 - 16) sin + 8x cos = 2 0 2 0 2 0 2 2 0 [ ] [ ] = (2 2 - 16) sin + 8 cos - (2 · 0x2 - 16) sin 0 + 8 · 0 · cos 0 = 2 2 - 16. 2 2 128 5.10 P¨ aratud integraalid. L~ opmatute rajadega p¨ aratud integraalid. 1. P¨ aratu integraal pooll~ oigul [a, ). Olgu antud funktsioon f , mis on pidev l~opmatul pooll~oigul [a, ). Seega on f pidev ka k~oigil l~oplikel l~oikudel [a, b], kus b > a. J¨arelikult eksisteerib m¨a¨aratud integraal b f (x)dx iga b > a korral a (vt §5.5)
= 2x2 sin -4 -2x cos +4 sin = (2x2 - 16) sin + 8x cos = 2 0 2 0 2 0 2 2 0 = (2 2 - 16) sin + 8 cos - (2 · 0x2 - 16) sin 0 + 8 · 0 · cos 0 = 2 2 - 16. 2 2 128 5.10 P¨ aratud integraalid. L~ opmatute rajadega p¨ aratud integraalid. 1. P¨ aratu integraal pooll~ oigul [a, ). Olgu antud funktsioon f , mis on pidev l~opmatul pooll~oigul [a, ). Seega on f pidev ka k~oigil l~oplikel l~oikudel [a, b], kus b > a. J¨arelikult eksisteerib m¨a¨aratud integraal b f (x)dx iga b > a korral a (vt §5.5)
annaabi.ee 
