Kui iga N [a; ) korral on olemas m¨aa¨ratud integraal f (x)dx ja a N eksisteerib piirv¨aa¨rtus lim f (x)dx, siis seda piirv¨aa¨rtust nimetatakse N a funktsiooni f (x) l~opmatu u ¨lemise rajaga p¨aratuks integraaliks ja t¨ahistatakse f (x)dx. a Definitsiooni 1 kohaselt N f (x)dx = lim f (x)dx. (5.8) a N a Seega tuleb p¨aratu integraali arvutamiseks leida k~oigepealt funktsiooni f (x)
Definitsioon 6 Jada nimetatakse {xn}nimetatakse t˜okestatuks, kui leidub selline arv M >0, et 8n 2N(|xn|6M). Lause 1 Konstantse jada piirv¨a¨artus on see konstant.Lause 2Iga koonduv jada on t˜okestatud. Lause 4 Kui jada {xn}koondub arvuks a, siis selle jada ¨uldliige on esitatav kujul xn = yn + a, kus yn −!0. Lause 5 Iga ¨ulalt t˜okestatud monotoonselt kasvav jada koondub. Definitsioon 7 Jada {xn}osajadaks {yn}nimetatakse jada, mis on saadud jadast {xn}l˜opliku v˜oi l˜opmatu hulga jada elementide v¨aljaj¨atmise teel. Teoreem 1 (Bolzano-Weierstrassi teoreem) Igast t˜okestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Lause 6 (Cauchy kriteerium) Jada {xn}koondub parajasti siis, kui iga _>0 korral leidub N 2N, et iga naturaalarvu n >N ja naturaalvu p korral kehtib v˜orratus |xn+p −xn|<_.
mi X kinnisteks hulkadeks. Kinniste hulkade F t¨aiendeid G = X F nimetatakse ruumi X lahtisteks hulkadeks. Seega v˜oib topoloogilist ruumi defineerida nii lahtiste hul- usteemi T kui ka kinniste hulkade s¨ kade s¨ usteemi K abil. Eel- nevas oli kirjeldatud vahekord erinevate definitsioonide vahel. ¨ 1.4 Ulesandeid 1.1 Olgu A ⊂ X. N¨aidata, et T = { ∅, X, A, X A } on topoloogia hulgal X. 1.2 Olgu X mis tahes l˜opmatu hulk ja Tl tema k˜oigi selliste alamhulkade A hulk, mille t¨aiend X A on l˜oplik v˜oi A = ∅: Tl = { A ∈ P(X) | A = ∅ v˜oi X A on l˜oplik}. N¨aidata, et Tl on topoloogia hulgal X. Topoloogiat Tl nimeta- takse l˜oplikuks topoloogiaks hulgal X. Saadud topoloogias on kinnisteks hulkadeks parajasti hulk X ise ja selle hulga k˜oik l˜oplikud alamhulgad. 1.3 N¨aidata teoreemi 1.1 t˜oestuses p˜ohjendamata j¨a¨anud
Lause 9. Iga u ¨lalt (alt) t~ okestatud monotoonselt kasvav (kahanev) jada on koon- duv, st xn = OR (1) xn {xn } c v~oi xn = OL (1) xn {xn } c. 37 T~ oestust vt [5], lk 102103. Definitsioon 11. Iga jada, mis saadakse jadast mingi l~opliku v~oi l~opmatu hulga jada elementide v¨ aljaj¨ atmisel, nimetatakse selle jada osajadaks. aide 3. Eraldame jadast {(-1)n (n - 1)/n} kaks osajada N¨ {(-1)2n (2n - 1)/(2n)} = {(2n - 1)/(2n)} (v~oetakse l¨ ahtejadast vaid paarisarvulise indeksiga liikmed) ja {(-1)2n+1 (2n)/(2n + 1)} = {(-2n)/(2n + 1)} (v~oetakse vaid paarituarvulise indeksiga liikmed).
g(x) = lim f (x), kui x = a xa saame pideva funktsiooni punktis a. ¨ Definitsioon 10.4. Oeldakse, et funktsioonil y = f (x) on punktis a teist liiki katkevus, kui v¨ahemalt u ¨ks u ¨hepoolsetest piirv¨a¨artustest lim f (x) lim f (x) xa- xa+ on l~opmatu v~oi seda ei eksisteeri. ¨ Oeldakse veel, et x = a on funktsiooni y = f (x) l~opmatuskohaks. 1 N¨ aide 10.3. Funktsioonil y = on punktis x = 0 teist liiki katkevus x 1 (x = 0 on funktsiooni y = l~opmatuskohaks), sest x 1 lim = -
. .) on j¨arjestatud hulk, milles -1-le j¨argneb 1, sellele omakorda -1 jne. Naturaalarvude hulk on N = {0, 1, 2, 3, . . .} ja t¨aisarvude hulk on Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}. T¨aisarvude baasil defineerime ratsionaalarvud. Ratsionaalarvuks nimetatakse kahe t¨aisarvu p ja q jagatist p/q, kusjuures q = 0. Ratsionaalarvude hulga t¨ahis on Q. Seega, l¨ uhidalt kirjutades Q = { pq p, q Z, q = 0}. Iga ratsionaalarvu saab esitada kas l~opliku v~oi l~opmatu perioodilise k¨umnendmurruna. L~opmatuid mitteperioodilisi k¨ umnendmurde nimetatakse irratsionaalarvudeks. Irratsionaalarvude hulga t¨ahis on I. Uks ¨ ja sama arv ei saa olla samaaegselt nii 1 ratsionaal- kui ka irratsionaalarav. Seet~ottu ei oma ratsionaalarvude ja irrat- sionaalaarvude hulgad u ¨hisosa, st Q I = . Ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud kokku moodustavad reaalarvude hulga.
. .) on j¨arjestatud hulk, milles -1-le j¨ argneb 1, sellele omakorda -1 jne. Naturaalarvude hulk on N = {0, 1, 2, 3, . . .} ja t¨aisarvude hulk on Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}. T¨aisarvude baasil defineerime ratsionaalarvud. Ratsionaalarvuks nimetatakse kahe t¨aisarvu p ja q jagatist p/q, kusjuures q = 0. Ratsionaalarvude hulga t¨ahis on Q. Seega, l¨ uhidalt kirjutades Q = { pq p, q Z, q = 0}. Iga ratsionaalarvu saab esitada kas l~opliku v~oi l~opmatu perioodilise k¨ umnendmurruna. L~opmatuid mitteperioodilisi k¨ umnendmurde nimetatakse irratsionaalarvudeks. ¨ ja sama arv ei saa olla samaaegselt nii Irratsionaalarvude hulga t¨ahis on I. Uks 1 ratsionaal- kui ka irratsionaalarav. Seet~ottu ei oma ratsionaalarvude ja irrat- sionaalaarvude hulgad u ¨hisosa, st Q I = .
annaabi.ee 
