10 5.6 L~ opmatute rajadega p¨ aratud integraalid P¨aratuid integraale on kahte t¨ uu¨pi. K¨aesolevas punktis vaatleme l~opma- tute rajadega p¨aratuid integraale ja j¨argmises punktis p¨aratuid integraale t~okestamata funktsioonidest. Definitsioon 1. Olgu funktsioon f (x) m¨a¨aratud ja pidev pooll~oigul [a; ). N Kui iga N [a; ) korral on olemas m¨aa¨ratud integraal f (x)dx ja a N
45. Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks 46. M~onede trigonomeetriliste funktsioonide klasside integreerimine 47. Irratsionaalavaldiste integreerimine 48. M¨aa¨ratud integraali m~oiste 49. M¨aa¨ratud integraali omadused 50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine. Newton-Leibnizi valem 51. Muutuja vahetus m¨aa¨ratud integraalis 52. Ositi integreerimine (m¨aa¨ratud integraali korral) 53. L~opmatute rajadega p¨aratud integraalid 54. P¨aratud integraalid t~okestamata funktsioonidest 55. M¨aa¨ratud integraali ligikaudne arvutamine. Trapetsvalem 56. Pindala arvutamine ristkoordinaatides 57. Polaarkoordinaadistik. K~oversektori pindala polaarkoordinaatides 58. K~overjoone kaare pikkus Kirjandus 1. N. S. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus, I, II, Tallinn 1983. 2. A. L~ohmus, I. Petersen, H. Roos, K~orgema matemaatika u ¨lesannete kogu. Tallinn, 1982. 3. L
¨lalt (alt) t~ okestatud hulgal X, siis t¨ahistatakse seda l¨ uhidalt f (x) = OR (1) (x X) (f (x) = OL (1) (x X)) . N¨aidetes 1, 3, 5, 8 esitatud funktsioonid ja N¨aite 7 funktsioon x - [x] on t~okestatud oma m¨a¨aramispiirkonnas ning N¨ aidetes 2, 4, 9 funktsioonid ja N¨aites 7 esitatud funktsioon [x] on t~ okestamata. Definitsioon 13. Funktsiooni y = f (x) (x X) p¨ o¨ordfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x = f -1 (y) , mis igale arvule y Y = f (X) seab vastavusse arvu x X, kusjuures y = f (x), st f -1 f y - x x - y. Kui hulgal X m¨ a¨aratud funktsiooni y = f (x) erinevatele argumendi v¨a¨artustele x vastavad funktsiooni erinevad v¨
opmatud). T˜oestus. Teoreemis 8.5 n¨aidati, et l˜oigud, pooll˜oigud ja vahemikud on sidusad hulgad arvteljel. Siin tuleb n¨aidata, et iga mittet¨uhi sidus hulk A ruumis R avaldub kujul A = < d; c >. Olgu A mittet¨ uhi sidus hulk ruumis R. Fikseerime a ∈ A ja moodustame arvuhulga B = { b ∈ R | [a; b] ⊂ A; a ≤ b } ⊂ A. On kaks v˜oimalust: a) hulk B on u ¨lalt t˜okestamata; b) hulk B on u ¨lalt t˜okestatud. Juhul a) [a; +∞[⊂ A ⊂] − ∞; +∞[= R. (8.14) Edasi uurime juhtu b). Olgu B t˜okestatud. Siis hulgal B leidub u ¨lemine raja c = sup B ∈ R. Siin on omakorda kaks v˜oimalust: b1) c ∈ B; b2) c ∈ B. Juhul b1) ka c ∈ A ning A avaldub oma kahe mittel˜oikuva lahtise alamhulga u ¨hendina
T¨ apsemalt tuleb sellest juttu j¨ argmises peat¨ ukis. T~okestatud hulgad. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse t~okestatuks, kui leidub l~oplik vahemik (a, b) nii, et A (a, b). T~okestatud hulgad on n¨aiteks k~oik l~oplikud vahemikud (a, b), l~oigud [a, b] ja pooll~oigud [a, b), (a, b]. T~okestamata hulgad on aga n¨aiteks l~opmatud va- hemikud (-, a), (a, ) ja l~opmatud pooll~oigud (-, a], [a, ). 1.2 J¨ a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Suurust, mis v~oib omandada erinevaid arvulisi v¨a¨ artusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline v¨a¨ artus ei muutu, nimetatakse j¨a¨avaks suuruseks. N¨aiteks u¨htlase
u ¨ mbrusesse j¨arjest suurema vasakpoolse otspunktiga M . T¨apsemalt tuleb sellest juttu j¨ argmises peat¨ukis. T~okestatud hulgad. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse t~okestatuks, kui leidub l~oplik vahemik (a, b) nii, et A (a, b). T~okestatud hulgad on n¨aiteks k~oik l~oplikud vahemikud (a, b), l~oigud [a, b] ja pooll~oigud [a, b), (a, b]. T~okestamata hulgad on aga n¨aiteks l~opmatud va- hemikud (-, a), (a, ) ja l~opmatud pooll~oigud (-, a], [a, ). 1.2 J¨ a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Suurust, mis v~oib omandada erinevaid arvulisi v¨a¨artusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline v¨a¨artus ei muutu, nimetatakse j¨a¨avaks suuruseks. N¨aiteks u
annaabi.ee 
