. , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust. Edasi valime igalt osal~oigult t¨aiesti suvalise punkti k [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, ja moodustame korrutised f (k )xk . Liites need korrutised, saame summa n sn = f (k )xk , k=1 mida nimetatakse funktsiooni f (x) integraalsummaks l~oigul [a; b]. Jaotuspunktid x1 , x2 , . . . on suvalised. Seeaga on osal~oikude pikkused xk , k = 1, 2, . . . , n erinevad. T¨ahistagu pikima osal~oigu pikkust st = max xk . 1kn Definitsioon 1. Kui piirv¨a¨artus lim sn 0 ei s~oltu sellest, kuidas on l~oik [a; b] jaotatud osal~oikudeks [xk-1 ; xk ], ega sel-
. . . . . . . . . . . . . 69 12. Lineaarv~orrandis¨ usteemi u ¨ldlahend erilahendi ja fundamentaals¨ ustee- mi kaudu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 13. Crameri peajuht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 IV. Vektoralgebra 14. Suunatud l~oikude vektorruum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 15. Projektsioonivektor ja projektsioon. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 16. Baas, reeper. Punkti koordinaadid, nende teisenemise valemid u ¨lemi- nekul uuele reeperile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 17. Skalaarkorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 69 12. Lineaarv˜orrandis¨ usteemi u ¨ldlahend erilahendi ja fundamentaals¨ ustee- mi kaudu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 13. Crameri peajuht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 IV. Vektoralgebra 14. Suunatud l˜oikude vektorruum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 15. Projektsioonivektor ja projektsioon. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 16. Baas, reeper. Punkti koordinaadid, nende teisenemise valemid u ¨lemi- nekul uuele reeperile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 17. Skalaarkorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valime igal osal~oigul [xi-1 , xi ] u ¨he punkti pi . Kui i-nda osal~oigu pikkus on v¨aike, siis muutub pidev funktsioon F (x) sellel osal~oigul v¨ahe, st F (x) F (pi ) iga x [xi-1 , xi ] korral. Seega on i-ndal osal~oigul tehtud t¨o¨o Ai ligikaudselt v~ordne F (pi ) ja osal~oigu pikkuse xi korrutisega, st Ai F (pi )xi . Summeerides t¨o¨od u ¨le osal~oikude saame t¨o¨ o ligikaudse avaldise kogu l~oigul [a, b]: n n A= Ai F (pi )xi . (5.17) i=1 i=1 119 Mida v¨aiksem on osal~oigu [xi-1 , xi ] pikkus, seda v¨ahem muutub j~oud sellel oigul ja seda t¨apsem on valem Ai F (pi )xi . Olgu n pikima osal~oigu osal~ pikkus
Valime igal osal~oigul [xi-1 , xi ] u ¨he punkti pi . Kui i-nda osal~oigu pikkus on v¨aike, siis muutub pidev funktsioon F (x) sellel osal~oigul v¨ahe, st F (x) F (pi ) iga x [xi-1 , xi ] korral. Seega on i-ndal osal~oigul tehtud t¨o¨o Ai ligikaudselt v~ordne F (pi ) ja osal~oigu pikkuse xi korrutisega, st Ai F (pi )xi . Summeerides t¨o¨od u ¨le osal~oikude saame t¨o¨o ligikaudse avaldise kogu l~oigul [a, b]: n n A= Ai F (pi )xi . (5.17) i=1 i=1 119 Mida v¨aiksem on osal~oigu [xi-1 , xi ] pikkus, seda v¨ahem muutub j~oud sellel osal~oigul ja seda t¨apsem on valem Ai F (pi )xi . Olgu n pikima osal~oigu pikkus
. , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust. Edasi valime igalt osal~oigult t¨aiesti suvalise punkti k [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, ja moodustame korrutised f (k )xk . Liites need korrutised, saame summa n sn = f (k )xk , k=1 mida nimetatakse funktsiooni f (x) integraalsummaks l~oigul [a; b]. Jaotuspunktid x1 , x2 , . . . on suvalised. Seeaga on osal~oikude pikkused xk , k = 1, 2, . . . , n erinevad. T¨ahistagu pikima osal~oigu pikkust st = max xk . 1kn Definitsioon 1. Kui piirv¨a¨artus lim sn 0 ei s~oltu sellest, kuidas on l~oik [a; b] jaotatud osal~oikudeks [xk-1 ; xk ], ega sel-
. . konstrueerimise protsess katkeb teatud sammul ja kehtib v˜or- dus (7.13) mingi n ∈ N korral. Sisalduvusest (7.12) ja v˜ordu- sest (7.13) j¨areldub X = ∪ni=1 Gxi . Seega on eraldatud kattest A l˜oplik osakate {Gx1 , . . . , Gxn } ja ruum X on kompaktne. Implikatsioon 30 =⇒ 10 on n¨aidatud. 7.4 Heine-Boreli teoreem J¨argnevalt p¨ uu¨takse anda ruumi Rn kompaktsete hulkade kir- jeldus. Definitsioon 7.7 Kuubiks K ruumis Rn nimetatakse l˜oikude otsekorrutist K = [a1 ; b1 ] × [a2 ; b2 ] × . . . × [an ; bn ], kus b1 − a1 = b2 − a2 = . . . = bn − an = r > 0. L˜oike [a1 ; b1 ], . . . , [an ; bn ] nimetatakse kuubi K servadeks ja arvu r serva pikkuseks. Kuubi K keskpunktiks nimetatak- se punkti a1 + b 1 a2 + b 2 an + b n ( ; ; ... ; ). 2 2 2 Definitsioon 7
annaabi.ee 
