Kui l~oigul [a; b] on f (x) 0, siis integraalsummas esinevad korrutised f (k )xk on selliste ristk¨ ulikute pindaladeks, mille alused on xk ja k~orgu- sed f (k ). Selliste ristk¨ ulikute pindalade summa, st integraalsumma sn on ligikaudu v~ordne niisuguse k~overtrapetsi pindalaga, mis alt on piiratud x- teljega, vasakult sirgega x = a, paremalt sirgega x = b ja u ¨lalt funktsiooni y = f (x) graafikuga. Kui vaadelda piirprotsessi 0, siis k~oikide osal~oikude pikkused hak- kavad kahanema ja selleks et osal~oigud kataksid kogu l~oigu [a; b], tuleb v~otta neid osal~oike j¨arjest rohkem. Ristk¨ulikute pindalade summa sn hakkab osal~oiku- de arvu kasvades t¨apsemalt iseloomustama k~overtrapetsi pindala. Seega, kui l~oigul [a; b] on f (x) 0, siis m¨a¨aratud integraal t¨ahendab geomeetriliselt k~overtrapetsi pindala. Definitsioon 2. Funktsioone, mis rahuldavad definitsioonis 1 esitatud
-1 Joonis 1.8: funktsioon y = sin x Paarituteks funktsioonideks on y = x3 , y = sin x ja y = tan x. Nende funkt- sioonide graafikud on esitatud vastavalt joonistel 1.7, 1.8 ja 1.9. Kui mis tahes paaritu funktsiooni graafikule kuulub punkt (x; f (x)), siis definitsioonis esitatud tingimuse kohaselt kuulub sellele ka punkt (-x; -f (x)). Need kaks punkti paiknevad s¨ ummeetriliselt koordinaatide alguspunkti suh- tes. Seega on k~oikide paaritute funktsioonide graafikud s¨ummeetrilised koor- dinaatide alguspunkti suhtes. 1+x N¨aide 1.8. Uurime, kas funktsioon y = ln on paaris v~oi paaritu. 1-x -1 1+x 1-x 1+x
T~ oestus. T~oestame teoreemi matemaatilise induktsiooni abil elemen- tide arvu n j¨argi hulgas Nn . Nagu n¨agime n = 1 korral teoreem kehtib. Eespool ¨oeldu p~ohjal ka n = 2 ja n = 3 korral teoreem kehtib, olgugi et matememaatilise induktsiooni l¨abiviimiseks pole seda tarvis teada. Eel- dame, et teoreem kehtib n - 1 korral. Hulga Nn-1 abil saab moodustada (n - 1)! permutatsiooni. Tuleb t~oestada, et hulga Nn abil saab moodus- tada n! permutatsiooni. Jaotame hulga Nn k~oikide permutatsioonide hulga, (1) (2) (n) t¨ahistame Pn abil, tema alamhulkadeks Pn , Pn , . . . , Pn . Alamhulka (i) Pn , kus i Nn , kuulugu sellised permutatsioonid, mille esimene element on i Nn . Selle hulga iga permutatsioon on kujuga i2 3 . . . n , 21 kus (n - 1)-elemendiline permutatsioon 2 3 . . . n on permutatsioon hulga {1, 2, . . . , i - 1, i + 1, . .
oestus. T˜oestame teoreemi matemaatilise induktsiooni abil elemen- tide arvu n j¨argi hulgas Nn . Nagu n¨agime n = 1 korral teoreem kehtib. Eespool ¨oeldu p˜ohjal ka n = 2 ja n = 3 korral teoreem kehtib, olgugi et matememaatilise induktsiooni l¨abiviimiseks pole seda tarvis teada. Eel- dame, et teoreem kehtib n − 1 korral. Hulga Nn−1 abil saab moodustada (n − 1)! permutatsiooni. Tuleb t˜oestada, et hulga Nn abil saab moodus- tada n! permutatsiooni. Jaotame hulga Nn k˜oikide permutatsioonide hulga, (1) (2) (n) t¨ahistame Pn abil, tema alamhulkadeks Pn , Pn , . . . , Pn . Alamhulka (i) Pn , kus i ∈ Nn , kuulugu sellised permutatsioonid, mille esimene element on i ∈ Nn . Selle hulga iga permutatsioon on kujuga iα2 α3 . . . αn , 21 kus (n − 1)-elemendiline permutatsioon α2 α3 . . . αn on permutatsioon hulga {1, 2, . .
Selleks peame n¨aitama, et (ln |x| + C) = x1 . Kui x > 0, siis (ln |x| + C) = (ln x + C) = x1 . Kui x < 0, siis (ln |x| + C) = [ln(-x) + C] = 1 -x · (-x) = 1 -x · (-1) = x1 . Kui x = 0, siis ei ole ln |x| m¨ a¨ aratud. Oleme t~oestanud valemi 3 kehtivuse k~oikide x R {0} korral. x 4. ax dx = lna a + C , kus a > 0, a = 1, ( x ) x kuna lna a + C = lna a ln a = ax . Erijuht: ex dx = ex + C. 5. sin xdx = - cos x + C. 6. cos xdx = sin x + C. dx 7. cos2 x = tan x + C. 8. dx sin2 x = - cot x + C. dx 9. = k1 arctan xk + C. k2 +x2 dx
104 dx 3. x = ln |x| + C. T~oestame valemi 3. Selleks peame n¨aitama, et (ln |x| + C) = x1 . Kui x > 0, siis (ln |x| + C) = (ln x + C) = x1 . 1 1 Kui x < 0, siis (ln |x| + C) = [ln(-x) + C] = -x · (-x) = -x · (-1) = x1 . Kui x = 0, siis ei ole ln |x| m¨a¨aratud. Oleme t~oestanud valemi 3 kehtivuse k~oikide x R {0} korral. ax 4. ax dx = ln a + C , kus a > 0, a = 1, x a ax kuna ln a +C = ln a ln a = ax . Erijuht: ex dx = ex + C. 5. sin xdx = - cos x + C. 6. cos xdx = sin x + C. dx 7. cos2 x = tan x + C. dx 8. sin2 x = - cot x + C. dx 1 9
Nii nagu m¨argi kuju, on ka h¨a¨aldused ajas ning paikkonniti tugevalt muutunud ning vanade h¨aa¨lduste v¨aljaselgitamine v~oib osutuda u ¨sna h¨ upoteetiliseks. Vana-Hiina keele foneetikale pani aluse B. Karlgren, tema teooriat on edasi arendanud A. T¯od¯o [ 75]. Hiina keelest jaapani keelde kandunud laenude kaudu on s¨ailinud praegu kasutusel olevatest kanji h¨a¨aldustest vanimad. Kanji laenud on m~ojutanud foneetiliselt k~oikide piirkonna riikide kee- li, mugandudes muidugi iga keele oma struktuuriga. Nii v~oib eristada m¨arkide jaapanip¨arast- , koreap¨ arast- ning viet- 26 namip¨arast h¨a¨aldust . 26 Vietnami keele kirjutamiseks spetsiaalselt loodud u ¨le tuhandet m¨arki nimetatakse ().
annaabi.ee 
