on pidev vahemikus (a,b). Kui funktsioon f on m¨a¨aratud l~oigul [a,b], pidev vahemikus (a,b) ning l~oigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on pidev l~oigul [a,b]. Elementaarfunktsioonide pidevus. k~oik elementaarfunktsioonid on oma m¨aa¨ramispiirkonnas pidevad 16. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. Kui leidub punkt x1 l~oigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt l~oigult kehtib v~orratus f(x1) f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suuri- maks v¨a¨artuseks (absoluutseks maksimumiks) l~oigul [a,b]. Kui leidub punkt x2 l~oigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt l~oigult kehtib v~orratus f(x2) f(x), siis nimetatakse arvu f(x2) funktsiooni f v¨ahimaks v¨a¨artuseks (absoluutseks miinimumiks) l~oigul [a,b]. 17. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega.
tabeli teises reas (veerus). On v~oimalik vaid siis, kui funktsiooni argu- mendil on l~oplik arv v¨a¨artusi. 2. Anal¨ uu¨tiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisa- takse ka m¨a¨aramispiirkonna kirjeldus. N¨aiteks avaldis y = x2 , x [0, 1] 4 kirjeldab funktsiooni, mille m¨a¨aramispiirkonnaks on l~oik [0, 1] ja iga x kor- ral sellelt l~oigult arvutatakse argumendile x vastavad funktsiooni v¨a¨artused f (x) vastavalt valemile f (x) = x2 . Anal¨ uu ¨tiliselt antud funktsiooni loomulikuks m¨a¨aramispiirkonnaks nimeta- takse argumendi k~oigi nende v¨a¨artuste hulka mille korral funktsiooni avaldis on t¨aielikult m¨a¨ ¨laltoodud funktsioon y = x2 , x [0, 1] ei aratud. N¨aiteks u ole antud oma loomulikus m¨a¨aramispiirkonnas. Selle funktsiooni loomulik
tabeli teises reas (veerus). On v~oimalik vaid siis, kui funktsiooni argu- mendil on l~oplik arv v¨a¨artusi. 2. Anal¨ uu¨tiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisa- takse ka m¨a¨aramispiirkonna kirjeldus. N¨aiteks avaldis y = x2 , x [0, 1] 4 kirjeldab funktsiooni, mille m¨a¨aramispiirkonnaks on l~oik [0, 1] ja iga x kor- ral sellelt l~oigult arvutatakse argumendile x vastavad funktsiooni v¨a¨artused f (x) vastavalt valemile f (x) = x2 . Anal¨ uu ¨tiliselt antud funktsiooni loomulikuks m¨a¨aramispiirkonnaks nimeta- takse argumendi k~oigi nende v¨a¨artuste hulka mille korral funktsiooni avaldis ¨laltoodud funktsioon y = x2 , x [0, 1] ei on t¨aielikult m¨a¨aratud. N¨aiteks u ole antud oma loomulikus m¨a¨aramispiirkonnas. Selle funktsiooni loomulik
5.1 M¨ a¨ aratud integraali mo ~iste Olgu funktsioon y = f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Jaotame l~oigu [a; b] suvalisel viisil punktidega x1 , x2 , ... xn-1 n osal~oiguks, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk-1 < xk < . . . < xn = b. Tekkinud osal~oigud on [xk-1 ; xk ], kus k = 1, 2, . . . , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust. Edasi valime igalt osal~oigult t¨aiesti suvalise punkti k [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, ja moodustame korrutised f (k )xk . Liites need korrutised, saame summa n sn = f (k )xk , k=1 mida nimetatakse funktsiooni f (x) integraalsummaks l~oigul [a; b]. Jaotuspunktid x1 , x2 , . . . on suvalised. Seeaga on osal~oikude pikkused xk , k = 1, 2, . . . , n erinevad. T¨ahistagu pikima osal~oigu pikkust st
gast A nii, et ∂A = X. 3.2 T˜oestada, et topoloogilise ruumi X alamhulga A raja ∂A on kinnine hulk ruumis X. 3.3 Olgu X l˜opmatu hulk ja Tl l˜oplik topoloogia hulgal X ¨l. 1.2). N¨aidata, et ruumi (X, Tl ) iga l˜opmatu alamhulga (vt. u sulund langeb kokku kogu ruumiga X. 3.4 Olgu X meetriline ruum ja A ⊂ X, A = ∅. N¨aidata, et x ∈ cl(A) parajasti siis, kui leidub selline jada {xn }n∈N hulga A elementidest, et limn→∞ xn = x. 3.5 Olgu X k˜oigi kujutuste hulk l˜oigult [0; 1] reaalarvude hulka R: X = { f | f : [0; 1] −→ R }. Samaselt nulliga v˜orduvat kujutust t¨ahistame f0 : f0 (x) = 0 iga x ∈ [0; 1] korral. Iga kujutuse f ∈ X, positiivse reaalarvu ja l˜opliku arvu erinevate elementide x1 , . . . , xn ∈ [0; 1] jaoks moodustame hulga X alamhulga U (f ; x1 , . . . , xn ; ) = { g ∈ X | |f (xi ) − g(xi )| < iga i = 1, . . . , n korral}. (3.3)
5.1 M¨ a¨ aratud integraali mo ~iste Olgu funktsioon y = f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Jaotame l~oigu [a; b] suvalisel viisil punktidega x1 , x2 , ... xn-1 n osal~oiguks, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk-1 < xk < . . . < xn = b. Tekkinud osal~oigud on [xk-1 ; xk ], kus k = 1, 2, . . . , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust. Edasi valime igalt osal~oigult t¨aiesti suvalise punkti k [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, ja moodustame korrutised f (k )xk . Liites need korrutised, saame summa n sn = f (k )xk , k=1 mida nimetatakse funktsiooni f (x) integraalsummaks l~oigul [a; b]. Jaotuspunktid x1 , x2 , . . . on suvalised. Seeaga on osal~oikude pikkused xk , k = 1, 2, . . . , n erinevad. T¨ahistagu pikima osal~oigu pikkust st
annaabi.ee 
