4) A + (-A) = 0 = -A + A (vastandmaatriksi olemasolu), 5) (A + B) = A + B (distributiivsus), 6) ( + )A = A + A (distributiivsus), 7) (A) = ()A (arvuga korrutamise assotsiatiivsus), 8) 1A = A (unitaalsus). T~oestus. Me juba t~oestasime omaduse 3) lausega 1 ja omaduse 4) lausega 2. T~oestame veel omaduse 5). Arvutame [(A + B)]ij = (A + B)ij = (aij + bij ) = aij + bij = (A)ij + (B)ij = (A + B)ij ¨ a¨anud omadused t~oestatakse analoogiliselt. Ulej¨ II. Maatriksarvutus 5 2.2 Maatriksite vahe Maatriksite A ja B vahe A - B defineeritakse valemiga A - B := A + (-B) Maatrikstehete omadusi illustreerib h¨asti j¨argmise teoreemi t~oestus. orrandi A + X = B ainus lahend on X = B - A. Teoreem 4. V~ oestus. N¨aitame k~oigepealt, et B - A on v~orrandi lahend: T~ A + (B - A) = A + B + (-A) = A + B + (-1)A
Lagrange'i teoreemi p~ohjal leidub vahemikus (x1,x2) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et kehtib v~ordus f(x2) - f(x1) = f'(c)(x2 - x1) Selle v~orduse paremal poolel olev tuletis f'(c) on nullist suurem, kuna me eeldasime f'(x) positiivsust vahemikus (a,b). Nullist suurem on ka vahe x2 - x1, kuna me valisime punktid x1 ja x2 selliselt, et x1 < x2. Seega on valemi parem pool nullist suurem. Saame f(x2)-f(x1) > 0. Sellest j¨areldubki soovitud v~orratus f(x1) < f(x2). V¨aide 2 t~oestatakse analoogiliselt. 30. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Funktsiooni argumendi v¨a¨artusi, mille korral tuletis v~ordub nulliga v~oi l~oplik tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks (t¨apsemini: esimest j¨arku kriitilisteks punktideks). Funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus . Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Tarviliku tingimuse põhjendus.
1 on l~ o pmatult kasvav. 1 T~oestus. T~ oestame ainult selle v¨ aite esimese poole, so: kui on l~ opmatult kahanev, siis 1 on l~opmatult kasvav. Vastupidine v¨ aide (kui on l~ opmatult kasvav, siis on l~ opmatult kahanev) t~ oestatakse analoogiliselt. Niisiis olgu l~ opmatult kahanev, st 0. Me peame t~ oestama, et suurus = 1 on opmatult kasvav, st || = . Vastavalt selle piirprotsessi definitsioonile (vt §2.1) tuleb l~ 1 meil n¨aidata, et suvalise kuitahes suure positiivse arvu M korral eksisteerib selline suuruse v¨a¨ artus M nii, et k~ oik M -le j¨ argnevad v¨ a¨
1 on l~ o pmatult kasvav. 1 T~oestus. T~ oestame ainult selle v¨ aite esimese poole, so: kui on l~ opmatult kahanev, siis 1 on l~opmatult kasvav. Vastupidine v¨ aide (kui on l~ opmatult kasvav, siis on l~ opmatult kahanev) t~ oestatakse analoogiliselt. 1 Niisiis olgu l~ opmatult kahanev, st 0. Me peame t~ oestama, et suurus = on 1 l~ opmatult kasvav, st || = . Vastavalt selle piirprotsessi definitsioonile (vt §2.1) tuleb meil n¨aidata, et suvalise kuitahes suure positiivse arvu M korral eksisteerib selline suuruse v¨a¨
M - f (x) K K st, et oleme saanud funktsiooni v¨ a¨artuste hulgale {f (x)}x[a,b] v¨aiksema u ¨lemise t~okke M - 1/K, kui on seda u ¨lemine raja M = sup f (x). See on vastuolu, mis on tingitud x[a,b] v¨aitevastasest oletusest. Analoogiliselt t~oestatakse lause v¨aite teine pool, kasutades abifunktsiooni 1 g(x) = , f (x) - m kusjuures m = inf f (x). T~ oestage! x[a,b] Esitame l¨uhidalt m~oningad tulemused, mis leiavad edaspidi kasutamist. Lause 4 (vt [5], lk 129130). L~oigul pidev funktsioon omab iga v¨a¨artust, mis paikneb
lim y = b y = b + xa 7 T~oestus. Tarvilikkus. Oletame, et lim y = b, st > 0 korral niisugune xa > 0, et kui |x - a| < , siis |y - b| < . T¨ahistades = y - b saame, et y = b + ja > 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| < , siis || < . Piirv¨a¨artuse definitsiooni kohaselt lim = 0, st on l~opmatult kahanev suurus. xa Piisavus t~oestatakse sarnaselt. Teoreem 4.2. Kahe l~opmatult kahaneva suuruse summa on l~opmatult kahanev suurus, st kui ja on l~opmatult kahanevad suurused, siis ka + on l~opmatult kahanev suurus. T~oestus. Muutuv suurus on piirprotsessis x a l~opmatult kahanev suurus, seega > 0 korral niisugune 1 > 0, et kui |x - a| < 1 , siis || < 2
annaabi.ee 
