) I3 Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks A B C 21. Nimetaja nullkohad on reaalsed ja erinevad O1 = + + + xa xb xc A B C 22. Osa nimetaja nullkohtadest on reaalsed ja kordsed O2 = n + n 1 + + ( x a) ( x a) x a Ax + B C D 23
) I3 Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks A B C 21. Nimetaja nullkohad on reaalsed ja erinevad O1 = + + + xa xb xc A B C 22. Osa nimetaja nullkohtadest on reaalsed ja kordsed O2 = n + n 1 + + ( x a) ( x a) x a Ax + B C D 23
y(n)+p1y(n-1)+...+pn-1y'+pny=0. Mittehomogeense DV üldlahend y on esitatav homogeense DC üldlahendi Yh ja mittehomogeense DV mingi erilahendi Y* summana y=yh+y*. Lineaarne konstantsete kordajatega n-järku homogeense DV y(n)+ p1y(n-1)+ ... + pn-1y'+ pny = 0. üldlahend avaldub lahendite fundamentaalsüsteemi (n lineaarselt sõltumatut lahendit) kaudu yh(x) = Lahendite fundamentaalsüsteemi saame karakteristliku polünoomi Pn(k) := kn+ p1kn-1+ ... + pn-1k + pn nullkohtadest (karakteristlikest väärtustest) kj, j = 1; 2; ... ; n
y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y’+pny=0. Mittehomogeense DV üldlahend y on esitatav homogeense DC üldlahendi Yh ja mittehomogeense DV mingi erilahendi Y* summana y=yh+y*. Lineaarne konstantsete kordajatega n-järku homogeense DV y(n)+ p1y(n-1)+ … + pn-1y’+ pny = 0. üldlahend avaldub lahendite fundamentaalsüsteemi (n lineaarselt sõltumatut lahendit) kaudu yh(x) = Lahendite fundamentaalsüsteemi saame karakteristliku polünoomi Pn(k) := kn+ p1kn-1+ … + pn-1k + pn nullkohtadest (karakteristlikest väärtustest) kj, j = 1; 2; … ; n
y = -1( x + 1)( x - 2 ) = - x 2 + x + 2 . Joonis 11 Kindlasti on tarvis lahendada tekstist arusaamise oskusele suunatud ülesandeid. Näiteks: leidke ruutfunktsiooni y = ax 2 + bx + c kordajad, kui x = 6 on ruutfunktsiooni nullkoht ja vähim väärtus -8 on kohal x = 4. Kas õpilased saavad aru: · et miinimumpunkti koordinaadid on (4;-8); · seega parabool avaneb ülespoole; · kui üks nullkohtadest on kohal 6, siis teine on kohal 2 (sest parabooli telg on x = 4). Nüüd on olemas vajalik info kordajate leidmiseks. Iga võtte omandamiseks tuleb lahendada teatud arv ülesandeid, kuid neid tulebki erinevalt esitada sõnastada. Ringjoonega on tegeldud põhikoolis planimeetria ülesandeid lahendades. Tuletage meelde ringjoone definitsioon ja näidake ringjoone võrrandi saamist koordinaatteljestikus. Valem võib õpilastel meelest minna, kuid tekkinud pilt peaks jääma silmade ette
𝐴𝐵 ∶ 𝐵𝐶 ∶ 𝐶𝐸 ∶ 𝐸𝐴 ∶ Nüüd on siin esimene suluavaldis null (11.6a) tõttu ning teine suluavaldis on null (11.6b) tõttu. Kokkuvõttes pn-1k + pn nullkohtadest (karakteristlikest väärtustest) kj, j = 1; 2; … ; n 0 0 0 , ehk 0 0 . See aga tähendabki, et y1 y2 1
Üldlahend avaldub lahendite fundametaalsüsteemi(n lineaarselt sõltumatut Greeni valem. lahendit) kaudu yh(x) = cjyj(x). Lahendite fundametaalsüsteemi saame karakteristliku polünoomi Pn(k) :):= k^n + p1k^(n-1)+... Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon on tükiti +pn-1k + pn nullkohtadest(karakteristlikest väärtustest) kj, j = 1;2;...;n. sile, siis kehtib Greene valem: Xdx + Ydy = D (Yx Xy)dxdy, kusjuures rajajoont läbitakse positiivses suunas. Kui Yx = Xy , siis II liiki joonintegraal punktide P0 ja P vahel ei sõltu neid punkte ühendava joone valikust. Tõestus. Kõigepealt näitame, et: Xdx = -D Xydxdy. 1. Olgu D normaalne piirkond x-telje suhtes, st D = (x,y) | (axb) ((x) (x)). Rajajoont läbime positiivses suunas
polünoom Nii oleme kahe teisenduse abil jõudnud funktsiooni graafikuni. Kuidas on teisenenud algse ruutvõrrandi nullkohad? Kui enne olid nad sirge ning algse ruutfunktsiooni lõikepunktid, siis teisenduste käigus esiteks nihutasime neid lõikepunkte võrra horisontaalselt ning seejärel tõstsime võrra. Nende teisenduste järel said nullkohtadest funktsiooni ning sirge lõikepunktid. Nende lõikepunktide -koordinaadid on aga täpselt antud valemiga . Kuna vertikaalsed, üles-alla teisendused -koordinaate ei muuda, peame ainult arvesse võtma veel horisontaalse nihke. Uued lõikepunktid on algsete suhtes võrra nihutatud, seega peame algsete lõikepunktide -koordinaatide leidmiseks lahutama veel . Saamegi taas kord loodetud vastuse .
rahuldama tingimust b2 - 4ac 0, sest vastasel korral ruutkolmliikmel nullkohad puuduksid, st ax2 + bx + c < 0 k~oigi x v¨a¨artuste korral ja ruutjuur ei omaks m~otet. Seega on ruutkolmliikmel olemas reaalsed nullkohad x1 ja x2 , st ax2 + bx + c = a(x - x1 )(x - x2 ). Integraali (9.15) ratsionaliseerimiseks kasutatakse Euleri teist asendust ax2 + bx + c = t(x - ), (9.17) kus on u ¨ks nullkohtadest x1 v~oi x2 . Oletame konkreetsuse m~ottes, et = x1 . T~ostes v~orduse (9.17) m~olemad pooled ruutu, saame ax2 + bx + c = t2 (x - x1 )2 ehk a(x - x2 ) = t2 (x - x1 ), millest t2 x1 - ax2 x= t2 - a ja ilmselt on ka diferentsiaali dx avaldis t suhtes ratsionaalne. (x - 1)dx N¨ aide 9.2
annaabi.ee 
