seadus aka poos, mistahes a ja b korral hulgast M on võrrandid b x = a ja y b = a lahenduvas süsteemis M. Arvutusoperatsioon f, mis seab hulgast M elementide järjestatud paarile a, b vastavusse nende jagatise nimetatakse jagatiseks ja märgitakse f (a, b) = a / b. Eeldame, et M, mis iga a korral hulgast M rahuldab tingimusi a + = a ja + a = a nimetatakse hulgast M nullelemendiks. Aditiivses süsteemis leidub ülimalt üks nullelement. Kui süsteemis M leidub nullelement, siis iga niisugust elementi ( -a) M, mis teadaoleva a korral hulgast M rahuldab tingimusi a + ( -a) = ja ( -a) + a = nimetatakse elemendi a vastaselemendiks. Aditiivses süsteemis saab igal elemendil olla ülimalt 1 vastandelement. Öeldakse, et aditiivses süsteemis M kehtib p.o.o.s., kui mistahes a ja b korral hulgast M on võrrandid: b + x = a ja y + b = a Arvutusoperatsiooni, mis seab M järjestatud elementide paarile ( a, b) vastavusse nende vahe nimetatakse lahutamiseks.
element kujutab endast kahe liidetava kommutatiivseks poolrühmaks. parajasti üks vektor AB. summat, võrdub determinant 2 sama Multiplikatiivses süsteemis M leidub ülimalt üks ühikelement, järku deteerminantide summana. nullelement, vastandelement ja üks pöördelement. Arvutusoperatsioon, mis seab hulga M elementide järjestatud paarile 3. Iga punkti A ja iga vektori a korral leidub 6. Determinandi väärtus ei muutu, kui tema vastavusse nende jagatise, nimetatakse jagamiseks. Nullelement on
1.Vektorruumis on ainult üks nullelement tõestus: Olgu V vektorruum 2 omadus ütleb, et leidub . Olgu meil vektorruumis 1 ja2 vektorruumid. Vastavalt 2 saame seosed x+ 1 =x, 1 +x =x iga xV, y+ 2 =y, 2+y=y iga yV. Valime teises seoses x= 2 ja kolmandad seoses y= 1 Saame 1+ 2= 2 ja 1 +2= 1 oleme saanud 1=1 +2 =2 , et 1 ja 2 olid V nullelemendid, siis on kõik V nullelemendid omavahel võrdsed, st. Saab olla vaid üks nullelement. 2.Sirgete kimp, mis sisaldab teineteisest erinevaid sirgeid üldvõrranditega s: A1x1+A2x2+A3=0; t: B1x1+B2x2+B3=0; koosneb parajasti nendest sirgetest, mille üldvõrrand avaldub kujul (A1x1+A2x2+A3)+(B1x1+B2x2+B3)=0; kus ja on vabalt valitud reaalarvud, mis ei ole korraga nullid. Tõestus: 1) On vaja näidata, et uus võrrand kirjeldab alati antud kimpu kuuluvat sirget: Olgu P(p1,p2) antud kibu keskpunkt, st Ps ja Pt, mistõttu P
Vektorruum Mittetühja hulka V nimetatakse vektorruumiks üle reaalarvude hulga R, kui sellel hulgal on defineeritud lineaarsed tehted: hulga V elementide liitmine ja korrutamine skalaaridega nii, et on täidetud järgmised tingimused: hulk V on kinnine elementide liitmise suhtes ja hulk V on kinnine skalaariga korrutamise suhtes Vektorruumi 1) leidub nullelement omadused 2) iga elemendi a korral leidub tema vastandelement a 3) (a+b)+c=a+(b+c) 4) a+b=b+a 5) k(a+b)=ka+kb 6) (k+l)a=ka+la 7) (kl)a=k(la) 8) 1a=a Vektorruumi Vektorruumi alamruumiks nimetatakse vektorruumi V mittetühja alamhulka U, alamruum kui U on vektorruumi V tehete suhtes vektorruum üle reaalarvude hulga R
Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiivne, st (z1z2)z3 = z1(z2z3) z1, z2, z3 C korral 7. korrutamise suhtes leidub ühikelement, selleks on reaalarv 1: 1z = z1 = z z C korral 8
V korral kehtivad seosed x + 0 = x, 0 + x = x. 3.Iga elemendi x V korral leidub hulgas V selline element, mida nimetame elemendi x vastandelemendiks ja tähistame -x abil, et kehtivad seosed x + (-x) = 0, (-x) + x = 0. 4.Elementide liitmine on kommutatiivne, s.t. iga x, y V korral x + y = y + x. 5. Iga x V korral 1x = x. 6. Iga , R ja iga x V korral ()x = (x). 7. Iga R ja iga x, y V korral (x + y) = x + y. 8. Iga , R ja iga x V korral ( + )x = x + x Nullelement Kehtivad seosed x+0=x ja 0+x=x Vektorite vahe Vaheks nimetatakse elemendi ja vastandelemendi summat: x-y = x+(-y) Vastandelement Kehtivad seosed x + (-x)=0 ja (-x)+x=0 VEKTORRUUMI ALAMRUUM: Vektorruumi alamruum - Nimetame vektorruumi V mittetühja alamhulka Q tema alamruumiks, kui Q on V tehete liitmise ja arvuga korrutamise - suhtes vektorruum (üle reaalarvude) Vektorruumi V tehted on teheteks tema alamhulgal Q, kui: 1) iga x,y korral summa x+y Q
(M2) (ab) c = a (bc) kõikide a, b, c ∈ F korral (korrutamise assotsiatiivsus), (M3) eksisteerib element 1 ∈ F {0} , et b· 1 = b iga b ∈ F puhul (ühikelemendi olemasolu), (M4) iga elemendi b ∈ F {0} puhul leidub element b−1 ∈ F omadusega b · b−1 = 1 (pöörd- elemendi olemasolu), (D) (a + b) c = ac + bc kõikide a, b, c ∈ F korral (distributiivsus). Aksioomidest (A1) – (A4) ja (M1) – (M4) tuleneb, et nullelement 0 ja ühikelement 1 on korpuses üheselt määratud (kontrollida!)z. Analoogiliselt on suvaliste elementide a ∈ F ja b ∈ F {0} korral üheselt määratud ka vastandelement −a ja pöördelement b−1 (veen- duda!)z, seejuures −1 − (−a) = a ning b−1 =b (1.1) (kontrollida!)z. Vastandelemendi abil defineeritakse liitmise pöördtehe lahutamine:
annaabi.ee 
