Sõltumatud sündmused. Tõenäosuste korrutamise lause sõltumatute sündmuste puhul. Tõenäosuste korrutamise lause. P(AB)=P(A)P(A/B) (või samaväärselt P(AB)=P(B)P(A/B)), kus P(B/A) on sündmuse B toimumise tõenäosus tingimusel, et toimub A (P(A/B) on sündmuse A toimumise tõenäosus tingimusel, et toimub B). Kui A ja B on sõltumatud, st A toimumise tõenäosus ei sõltu B toimumisest või mittetoimumisest ja vastupidi, siis P(AB)=P(A)P(B). Kui sündmused A 1, A2,...,Ak on sõltumatud, siis P(A1, A2, ..., Ak)=P(A1)P(A2)....P(Ak). Tõestus !!! P(AB)=m AB/n=(mAB/mA)*mA/n=P(B/A)*P(A)=P(A)*P(B/A). Analoogiliselt saame, et P(AB)=P(B)P(A/B). Kui A ja B on sõltumatud, st. A toimumise tõenäosus ei sõltu B toimumisest või mittetoimumisest ja vastupidi, siis P(AB)=P(A)P(B). 6. Sündmuste täissüsteemi mõiste. Täistõenäosuse valem (tõestusega)
Seega
Korrutamise lause: P(AB)=P(A)P(B/A) (või P(X
vähemalt üks sündmustest A või B. korrutis - Sündmuste A ja B korrutis on sündmus, mis toimub parajasti siis, kui toimuvad sündmused A ja B. (samaaegselt) vahe - Sündmuste A ja B vahe on sündmus, mis toimub parajasti siis, kui sündmus A toimub aga sündmus B ei toimu. AB 3. Sõltumatud sündmused. - Sündmused on sõltumatud kui: P(A|B)=P(A), ehk sündmuse A tõenäosus ei sõltu sündmuse B toimumisest või mittetoimumisest: Välistavad sündmused - Sündmusi A ja B nimetame teineteist välistavateks, kui nad ei saa toimuda samaaegselt (a on risti, b on ärtu) 4. Bernoulli valem. - Bernoulli valemit kasutatakse juhul, kui sooritatakse n sõltumatut katset ja igal katsel on sündmuse toimumise tõenäosus sama p. Meid huvitab tõenäosus, et sündmus toimub n katse jooksul k korda. P( n katsel k korda ) = C kombinatsioonide arv pk k korda juhtub, et sündmus toimub.
tõenäosust p ( A B ) . Sündmuse korrutise tõenäosuse leidmisel tuleb eristada järgmisi võimalusi: · sündmused on sõltumatud (kummagi sündmuse toimumine või mittetoimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumist või mittetoimumist), arvutusvalem: p ( A B ) = p ( A) p ( B ) (3) või kujul p(AB) = p(A)×p(B) · sündmused on sõltuvad (ühe sündmuse toimumisest või mittetoimumisest sõltub teise sündmuse toimumise tõenäosus); sellisel juhul kasutatakse mõistet tinglik tõenäosus, mida tähistatakse sümboliga p(B|A) sündmuse B toimumise tõenäosus eeldusel, et sündmus A on toimunud, arvutusvalem: p ( A B ) = p ( A) p ( B | A) (4) Mõnedes allikates on see valem kujul p(AB) = p(A)×p(B/A) Nüüd saame lõpetada eelmise näiteülesande. Sündmused A ja B on sõltumatud, seega
Näit. 1) täringut visatakse järjest kolm korda A esimesel viskel saadakse 5 silma B teisel viskel saadakse 5 silma C kolmandal viskel saadakse 3 silma Sündmused A, B, C on sõltumatud sündmused, sest katsetingimused on igal katsel samasugused. 2) korvis on 3 valget ja 4 musta kuulikest; korvist võetakse järjest 2 kuuli, neid tagasi panemata A esimesena saadakse valge kuulike B teisena saadakse must kuulike Sündmuse B toimumine sõltub sündmuse A toimumisest või mittetoimumisest. Kui esimesena saadud kuulike on valge, siis enne teise katse toimumist on korvis alles 2 valget ja 4 musta kuulikest. Kui esimesena valget kuulikest ei saada (saadakse must), siis on enne teist katset korvis 3 valget ja 3 musta kuulikest. Seega sündmuse B toimumine teisel katsel toimub erinevates tingimustes. Sündmus B sõltub sündmusest A. teineteist välistavad sündmused sündmused, millest ühe toimumisel on teise toimumine samal katsel võimatu Näit. Visatakse üks kord täringut
· Õnnemängud- tulemus sõltub juhusest ja mäng toimub mehaanilise või elektroonilise vahendi abil või mängu läbiviija vahendusel. · Loteriid- tulemus sõltub juhusest, kusjuures võidufond võib olla kuni 80% loterii piletite realiseerimishinnast ja mängu tulemust ei selgitata üle kolme korra ööpäevas või see selgub loteriipileti mänguvälja avamisel. · Totod- mängud, mille tulemus sõltub mängija ennustatud sündmuse toimumisest, mittetoimumisest või toimumise viisist, kusjuures sündmus, mille suhtes mängija teeb ennustuse, on väljaspool mängukorraldaja kontrolli. Võidusuurus sõltub panuse suurusest ja enne panuse tegemist määratud võidu koefitsendist või mängukorraldaja poolt määratud protsendist panuste summast. · Osalusmäng- tulemus sõltub ülekaalukalt mängija füüsilisest osavusest, oskustest ja teadmistest ja mida mängitakse mehaanilise või elektroonilise seadme abil.
..+P(An) 5. Tõenäosuste korrutamise lause (tõestusega). Sõltumatud sündmused. Tõenäosuste korrutamise lause sõltumatute sündmuste puhul. P(AB)=P(A)P(B/A) (või samaväärselt P(AB)=P(B)P(A/B) ) m m m Tõestus: P( AB) = AB = AB A = P( B / A) P( A) = P( A) P( B / A) n mA n Sõltumatud sündmused: P(B/A)=P(B) P(AB)=P(A)P(B) Sündmused A ja B on sõltumatud, kui sündmuse A toimumise tõenäosus ei sõltu sündmuse B toimumisest või mittetoimumisest ja vastupidi. P(AB)=P(A)*P(B) Enam kui kahe sõltumatu sündmuse A1, A2, ... ,An korral: P(A1* A2* ... *An)=P(A1)*P(A2)*...*P(An) 6. Sündmuste täissüsteemi mõiste. Näiteid sündmuste täissüsteemist. Täistõenäosuse valem (tõestusega). Bayesi valem (tõestusega). Sündmuste täielikuks süsteemiks ehk sündmuste täissüsteemiks nim sündmusi A1, A2, ... ,An , kui 1) A1+ A2+ ... +An=K , st P(A1+ A2+ ... +An)=P(K)=1 2) AiAj=V, st P(AiAj)=P(V)=0 ; i, j=1,2,...,n ij
süsteemi (kui katse tulemusena toimub neist tingimata üks ja ainult üks), siis P ( A1 ) + P ( A2 ) + K + P ( An ) = 1 . Kuna vastandsündmused moodustavad täieliku süsteemi, siis P ( A) + P ( A) = 1 P ( A) = 1 - P( A) . 9.7 Sündmuste korrutise tõenäosus 50 On sündmusi A, mille toimumine sõltub mingi teise sündmuse B eelnevast toimumisest või mittetoimumisest. Sellest asjaolust tuleneb mõiste tinglik tõenäosus, mida tähistatakse P ( A / B) ja mis väljendab sündmuse A tõenäosust eeldusel, et sündmus B on juba toimunud. Sündmust A nimetatakse sõltumatuks sündmusest B, kui sündmuse A tõenäosus ei sõltu sellest, kas sündmus B toimus või ei. Vastasel juhul nimetatakse sündmust A sõltuvaks sündmusest B. Sõltuvate sündmuste korrutise tõenäosus
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) 1 . Kuna vastandsündmused moodustavad täieliku süsteemi, siis P ( A) P ( A) 1 P ( A) 1 P( A) . 9.7 Sündmuste korrutise tõenäosus 50 On sündmusi A, mille toimumine sõltub mingi teise sündmuse B eelnevast toimumisest või mittetoimumisest. Sellest asjaolust tuleneb mõiste tinglik tõenäosus, mida tähistatakse P ( A / B) ja mis väljendab sündmuse A tõenäosust eeldusel, et sündmus B on juba toimunud. Sündmust A nimetatakse sõltumatuks sündmusest B, kui sündmuse A tõenäosus ei sõltu sellest, kas sündmus B toimus või ei. Vastasel juhul nimetatakse sündmust A sõltuvaks sündmusest B. Sõltuvate sündmuste korrutise tõenäosus
annaabi.ee 
