Arvu ruut Arvu ruut Näide 1. Arvu 5 ruut on 25, sest 52 = 5 · 5 = 25. Ruutjuur Antud mittenegatiivse arvu a ruutjuureks nimetatakse sellist mitte- negatiivset arvu b, mille ruut võrdub arvuga a. a =b b2 = a ! Negatiivsest arvust ei saa ruutjuurt võtta. Juure korrutis ab= a b Mittenegatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite aritmeetilise ruutjuure korrutisega Jagatise ruutjuur a a = b b Positiivsete arvude jagatiste aritmeetiline ruutjuur võrdub nende arvude aritmeetiliste ruutjuurte jagatisega. Ruut võrrand Võrrandit ax²+bx+c=0, milles a, b ja c on antud arvud (a0) ja x on tundmatu, nimetatakse ruutvõrrandiks. ax² + bx + c = 0 a ruutliikme kordaja ax² ruutliige b lineaarliikme kordaja bx lineaarliige c vabaliige Valem.
! Negatiivsest arvust ei saa ruutjuurt võtta. 18 = 2 9 = 2 9 = 3 2 Ülesannete lahendamise Juurimise reeglid juures ei pea kõiki 90 = 9 10 = 9 10 = 3 10 vaheetappe kirja panema! · ab = a b Mittenegatiivsete arvude korrutise aritmeetiline ruutjuur võrdub 12 = 3 4 = 3 4 = 2 3 nende arvude aritmeetiliste ruutjuurte korrutisega. 20 = 4 5 = 4 5 = 2 5 a a Nipp seisneb selles, et arvu korrutiseks teisendamisel tuleb leida just · = b b niisugused tegurid, kus vähemalt ühest saab võtta ruutjuurt.
10. Kuidas koostada sagedustabelit? Koostada tuleb tabel, kus on 3 tulpa. Esimeses tulbas on andmed, teises tulbas sagedus ja kolmandas tulbas suhteline sagedus. Suhtelise sageduse leidmiseks tuleb sagedus jagada objektide koguarvuga. 11. Mis on arvu ruutjuur? Miks negatiivsetel arvudel puudub ruutjuur? Ruutjuureks antud positiivsest arvust nimetatakse niisugust positiivset arvu, mille ruut võrdub antud arvuga. Mittenegatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite ruutjuurte korrutisega. Mittenegatiivse arvu ja positiivse arvu jagatise ruutjuur võrdub jagatava ruutjuure ning jagaja ruutjuure jagatisega. Negatiivsetel arvudel puudub ruutjuur, sest pole arvu, mille ruut oleks negatiivne. 12. Kuidas lahendada lineaarvõrrandit? 1) Kui võrrandis on sulud, siis avame need 2) Tundmatud viime vasakule, vabaliikmed paremale (teisele poole viies märk muutub) 3) Koondame sarnased liikmed
9. Funktsioon vastavus (eeskiri), mis seab sõltumatu muutuja x igale väärtusele hulgast X vastavusse sõltuva muutuja y ühe kindla väärtuse hulgast Y. 10. Funktsiooni määramispiirkond X sõltumatu muutuja ehk argumendi x väärtuste hulk. *Näide: funktsiooni f (x) määramispiirkond on R {0}. Funktsiooni muutumispiirkond Y sõltumatu muutuja y väärtuste ehk funktsiooni väärtuste hulk. *Näide: funktsiooni f (x) = x(2) muutumispiirkond on kõigi mittenegatiivsete reaalarvude hulk. 11. Funktsiooni nullkohad argumendi väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on 0, nimetatakse nullkohtadeks. Funktsiooni nullkohtade leidmiseks tuleb määrata need x väärtused, kus f (x) = 0. Funktsiooni positiivsuspiirkond funktsiooni positiivsuspiirkonna moodustavad argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne. Funktsiooni positiivsuspiirkonna leidmiseks tuleb määrata need x väärtused, kus f (x) > 0.
Neid arve X ja Y nim. vektori v koordinaatideks antud vektorbaasi suhtes ning kirjutatakse v=(X;Y). Vektori pikkus: Vektori, kui suunatud lõigu pikkuseks nim. selle lõigu pikkust. 12. Lineaarfunktsioon: Mõiste: Funktsiooni y=mx+b, kus m0 ja b on mingid kontstandid, nim. lineaarfunktsiooniks. Joonestamine: (näide) Asend ja tõusunurk: Lineaarfunktsioon on rangelt kasvav, kui m>0 ja rangelt kahanev, kui m<0 (joonisel). 13. Ruutfunktsioon: Mõiste: Ruutfunktsioon on (y=x²) mittenegatiivsete väärtustega paarisfunktsioon. Joonestamine: (näide) Haripunkt: Graafikus (näide joonisel) on ruutbarabool, mille haripunkt asub nullpunktis ja mis on sümmeetriline y-telje suhtes. Asend: Argumendi pos. väärtuste korral on ruutfunktsioon rangelt kasvav, neg. korral rangelt kahanev. 15. Aritmeetiline jada: Mõiste: Jada, mille iga liikme ja temale vahetult eelneva liikme vahe on konstantne, nimetatakse aritmeetiliseks jadaks. Liikmete leidmine: Üldliikme valem:
argumendiks. Argumendi x väärtuste hulka, mille puhul saab määrata funktsiooni y väärtusi vastavalt eeskirjale f(x), nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Näide Ringi pindala sõltuvust raadiusest kirjeldab funktsioon S = r 2 , kus sõltumatuks muutujaks e. argumendiks on raadius r. Selle funktsiooni määramispiirkonnaks on mittenegatiivsete reaalarvude hulk. Funktsiooni määramispiirkonna osahulgad Funktsiooni nullkohad on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on null: X0 = {x | x X , f ( x) = 0} Funktsiooni positiivsuspiirkond on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne: X+ = {x | x X, f ( x ) > 0} Funktsiooni negatiivsuspiirkond on määramispiirkonna osahulk, mille
1000 10000 13.3 0 Tabelist näeme kui oluline on osata algoritme hinnata ja valida. NB: Arvestada tuleb ka fakti, et kahendotsingut saame rakendada järjestatud massiivile, aga lineaarset otsingut suvalisele massiivile. Tegelikult on olemas üldisem meetod rekurentse algoritmi täitmiseks kuluva aja leidmiseks. Teoreem: Olgu a>=1 ja b>1 konstandid, f(n) funktsioon ning T(n) defineeritud mittenegatiivsete n väärtuste korral valemiga: T ( n) = aT ( n / b) + f ( n) (nurksulud tähendavad täisosa) Siis: 1. T(n) on O( n logb a ) juhul kui f(n) on O (n logb a -e ) , mingi positiivse konstandi e korral 2. T(n) on O(n logb a log n) juhul kui f(n) on O(n logb a ) 3. T(n) onO(f(n)), kui f(n) on O(n logb a +e ) mingi positiivse konstandi e korral ning af(n/b)<=cf(n), (c<1) küllalt suurte n väärtuste korral.
hajub. 36. Harmoonilised read (*) Teada, et harmooniline rida koondub parajasti siis, kui α> 0 (lause 9.7). Tõestada, et rida hajub (lause 9.5): 37. Tehted koonduvate ridadega (*) Tõestada, et kui read koonduvad vastavalt summaks s ja t, siis read koonduvad vastavalt summaks s+t; λs ja s-t (lause 9.8). 38. Ridade esimene ja teine võrdluslause (*) Selgitada, et mittenegatiivsete liikmetega rea osasummade jada on kasvav. Tõestada tarvilik ja piisav tingimus sellise rea koonduvuseks (lause 9.9): Mittenegatiivsete liikmetega rida koondub parajasti siis, kui ta osasummade jada (sn) on tõkestatud. Eelneva märkuse põhjal on rea osasummade jada (sn) kasvav, vastavalt monotoonsuseprintsiibile koondub ta parajasti siis, kui ta on tõkestatud. Tõestada mittenegatiivsete liikmetega ridade esimene võrdluslause (lause 9
Kogus 1 2 10 100 Millist üldist seaduspära märkate? Mida kõrgem on hind, seda väiksem ostetud kogus. Kui uuringu läbiviijad märgivad, et andmed on saadud ceteris paribus, siis millised asjaolud ei ole majanduses muutunud? Tarbijate hulk ja/või sissetulek, raha ostujõud, kauba kvaliteet, tarbijate maitse-eelistused, (veel midagi?). Oletagem, et sama seos kummagi kauba hinna ja nõutava koguse vahel valitseb kõigi mittenegatiivsete (mida see tähendab?) hindade korral (NB! Tegelikult on punkte üldistamiseks vähe, aga näidisülesandes võib nii teha!). Leidke selle kauba nõudluskõvera (seos nõutava koguse ja hinna 100 vahel): q A q A ( p A ) võrrand. Seos q A . pA Kauba B turu-uuringute tulemusena saadi teada, et juhul, kui kauba hind on 110 ühikut, ei osta seda
. . . . . 134 6.1.3 Funktsionaaljadad, mille liikmed on pidevad funktsioonid . . . . . . . 136 6.1.4 Dini teoreem funktsionaaljada ühtlasest koonduvusest . . . . . . . . . . . . 139 6.2 Arvread, nende koonduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2.1 Arvrea mõiste, tema koonduvus ja hajuvus . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2.2 Mittenegatiivsete liikmetega read. Absoluutne koonduvus . . . . . . . 143 6.3 Ridade koonduvustunnused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.3.1 Võrdluslaused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.3.2 Cauchy ja d’Alembert’i koonduvustunnus . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.3.3 Leibnizi koonduvustunnus . . . . . . . . . . . . . . .
Täiendava mitteranguse tingimused: Yi[bi-gi(x)]=0 , st et duaalülesande sihifunktsioonis kõik liidetavad peale esimese peavad võrduma nulliga. Duaalül kitsendused võib vektorkujul kirjutada: grad f= !!!! ! ! () . Kui (x*, y*) on duaalül optimaalne lahend, siis teatud tingimuste korral on x* ühtlasi lähteülesande optimaalne lahend. Lähteülesande maksimumpunktis x* on sihifunktsiooni gradient f(x*) esitatav kitsendusfunktsioonide gradientide gi(x*) lineaarse kombinatsioonina mittenegatiivsete kordajate y*i abil 21. Wolfe'i meetod Wolfe'I meetodit kasutatakse ruutplaneerimises. Antud juhul on simpleksmeetodit täiendatud vaid ühe lisatingimusega. Kitsendused esitatakse kanoonilisel kujul ning seejärel avaldatakse igal real lisamuutuja. Kitsenduse x0 kirjutame lahti x10,-x20. Kitsendused ja sihifunktisoon liidetakse ühiseks funktsiooniks, mille kitsendused saadakse algmuutujate kaudu tuletiste leidmisel. N: w=32x1+120x2-4x12-15x22+y1(20-2x1-5x2)+y2(8-2x1+x2)+y3x1+y4x2àmin
sisestada ruutjuure alune arv arvutisse, Leida arvutil ruutjuur, ümardada vajutada klahvile "ruutjuur"; vajadusel sajandikeni. ümardada; arv on väiksem kui 1: ruutjuur =9.542012366 9,54 antakse standardkujul, näiteks 6.1646 -01, s.t. et koma tuleb nihutada ühe koha võrra =99.994999875 99,99 vasakule 0,61646, ümardades vastuse näiteks sajandikeni 0,62 NB ruutjuure saab leida ka vastava matemaatilise tabeli abil 7.Korrutise ruutjuur - TEOREEM. Näited. Mittenegatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite ruutjuurte korrutisega. NB ühest ruutjuurest võib saada kahe (mitme) ruutjuure korrutise või vastupidi 8.Jagatise ruutjuur - TEOREEM. Ül.1304, 1306 Mittenega-tiivse arvu ja positiivse arvu jagatise ruutjuur võrdub jagatava = = ruutjuure ning jagaja ruutjuure jagatisega. = = =
annaabi.ee 
