konstantsete kordajatega teist järku dif.võrrand II järku Kõigepealt tuleb lahendada karakteristlik võrrand k2+ak+b=0. Saadud kons.kordajatega lahendid k1,k2 ja suurus D=a2-4b määravad üldlahendi kuju: lineaarne hom. dif. D>0, y=C1ek1xC2ek2x võrrandi üldlahend D=0, y=ekx(C1+C2x) D<0, y=eAx(C1cos(Bx)+C1sin(Bx)), A=-a/2, B=0,5 -D Lineaarne mittehom. Teist järku konstantsete kordajatega lineaarne mittehomogeenne kons. kordajatega II diferentsiaalvõrrand omab kuju y''+ay'+by=F(x), kus a ja b on konstandid järku dif.võrrand ning F(x) on argumendi x funktsioon II järku kons. Üldlahend avaldub kujul y=y*+Y, kus y* on vastava homogeense kordajatega diferentsiaalvõrrandi üldlahend ja Y on antud mittehomogeense võrrandi üks mittehom. dif. erilahend võrrandi üldlahend ja erilahend
y1,y2,...,yn on võrrandi(1h) lahendid,siis on ka y=C 1y1+C2y2+...+Cnyn võrrandi(1h) lahend.Tõestuseks on vaja näidata,et kui Ly1≡0,...,Lyn≡0,siis L(C1y1+...+ Cnyn)≡0. L(C1y1+C2y2+...+Cnyn)=L(C1y1)+L(C2y2)+...+L(Cnyn)= C1Ly1+C2Ly2+...+ CnLyn=C10+...+Cn0=0. Omadus2:Kui y1,y2,...,yn on (1h) lahendid, y* on aga (1) lahend, siis y=C1y1+C2y2+...+Cnyn+y* on (1) lahend.Tõestus on vaja näidata,et Ly≡f. Ly= L(C 1y1+C2y2+... +Cnyn+Y*)=Lyhom+Ly*=0+Ly*, Ly*=f eelduse põhjal lin.mittehom.DV lahend. Eelduste kohaselt L(C 1y1+C2y2+... +Cnyn)≡0,Ly*=f,siis L aditiivsuse tõttu L(y hom+y*)=Lyhom+Ly*= 0+Ly*=f.Omadus3:Olgu f=f1+f2.Kui y1 on võrrandi Ly=f1 la-hend ja y2 on võrrandi Ly=f 2 lahend, siis y=y1+y2 on võrrandi Ly=f lahend.Tõestus: Ly=L(y1+y2)=Ly1+Ly2=f1+f2=f.Omadus4:Olgu y=u+iv võrrandi(1h) lahendiks,siis on ka u ja v võrrandi(1 h) lahenditeks.Tõestus:L(u+iv)≡0,siis L(u+iv)=Lu+L(iv)=Lu+iLv ≡0;Lu+iLv;i=√-1≠0. Fn-de lineaarne sõltuvus ja sõltumatus
(E); u'=du/dx=>du/dx= (u)-u /x |*dx/ (u)-u =>du/ (u)-u=dx/x ->(E); du integreerime (u ) -u =ln|x|+C=ln|Cx|; u=u(x)->asendame A=> üldlah 44.Lin I järku DV, lahendamine Def. Esimest järku lin dif võrr ei sisalda nende korrutist. Sellel f-nil võib olla kordajates ainult x'i f-n: y'+F(x)y=Q(x) (L). Kui selle võrrandi parem pool võrdne 0-ga siis ta on hom lin dif võrrand, kui ei ole siis on mittehom lin dif võrr. *Lahendamine=>Bernoulli meetod: tähistades otsitava f-ni 2 f-ni korrutisena y=uv, u=u(x) v=v(x), arv y'=u'v+uv', as (L) u'v+uv'+P(x)uv=Q(x)=> v(u'+P(x)u)+uv'=Q(x); I abiül u'+P(x)u=0 Kui avaldis, mis sisaldab tuletist on I järku DV oleme saanud u määramiseks hom lin dv: u'=-P(x)u (võime minna normaalkujule) ja (HL) on (E) alati; asendada u tuletis dif suhetena e välja kirj see võrrand, kus dif-d on juba sees: u'=du/dx-> du/dx=-P(x)u |du/u => du/u=
.., y(n) suhtes.** St. F(x, ty, ty', ..., ty(n)) = tF(x, y, y', ..., y(n)) t > 0. **Alandame funktsiooni järki asendusega y'=yz, kus z=z(x) on uus otsitav funktsioon. 3. Kõrgemat järku lineaarsed DV-d. Lahendite vahelised seosed. V: n-järku lineaarsed DV-d võr F(x,y,y',...,y(n)) nim. lin n-järku HDV-ks, kui ta onlineaarne otsitava ja tema tuletise suhtes ehk on kirjut kujul **p 0(x)y(n) + p1(x)y(n-1) + ... + pn(x)y = f(x) (3) ** f(x)=0 lin hom dv f(x)0 lin. Mittehom dv **normaalkuju y (n)=g(x;y;y';..;y(n-1)) **Moodustame Cauchy ülesande, selleks lisame lineaarsele võrrandile n algtingimust:** {y(x 0) = y0 {y'(x0) = y0(1) {... {y(n-1)(x0) = y0(n-1) (kus xo,yo,yn-1 on konstandid) (4) **Teoreem: Kui võrrandi (3) kordajad p 0(x), p1(x), ..., pn(x) ja vabaliige f(x) on pidevad vahemikus (a, b) ja x 0 (a, b), y0, y0(1), ..., y0(n-1) (-,), siis võrrandil (3) leidub parajasti üks lahend y = y(x), mis rahuldab tingimusi (4)
.. + Cnyn võrrandi (1h) lahend. Tõestuseks on vaja näidata, et kui Ly1≡0, ..., Lyn≡0, siis L(C1y1+...+Cnyn)≡0. L(C1y1+C2y2+...+Cnyn)=L(C1y1)+L(C2y2)+...+L(Cnyn)=C1Ly1+C2Ly2+...+CnLyn=C10+...+Cn0=0. Omadus 2: Kui y1, y2, ..., yn on (1h) lahendid, y* on aga (1) lahend, siis y = C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn + y* on (1) lahend. Tõestus on vaja näidata, et Ly≡f. Ly=L(C1y1+C2y2+...+Cnyn+Y*)=Lyhom+Ly*=0+Ly*, Ly*=f eelduse põhjal lin. mittehom. DV lahend. Eelduste kohaselt L(C1y1+C2y2+...+Cnyn)≡0, Ly*=f, siis L aditiivsuse tõttu L(yhom+y*)=Lyhom+Ly*=0+Ly*=f. Omadus 3: Olgu f=f1+f2. Kui y1 on võrrandi Ly=f1 lahend ja y2 on võrrandi Ly=f2 lahend, siis y=y1+y2 on võrrandi Ly=f lahend. Tõestus: Ly=L(y1+y2)=Ly1+Ly2=f1+f2=f. Omadus 4: Olgu y=u+iv võrrandi (1h) lahendiks, siis on ka u ja v võrrandi (1h) lahenditeks. Tõestus: L(u+iv)≡0, siis L(u+iv)=Lu+L(iv)=Lu+iLv≡0; Lu+iLv; i=√-1≠0.
d2z=zxxDx2+zxydxdy+zyxdydx+zyydy2 TT kitsendusi arvastades: z max, kui d2z<0, dg=0, z min, kui d2z>0, dg=0, TT hessi det kaudu: q=au2+2huv+bv2,kui u+v=0 18. Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid, mittelineaarsed diferentsiaalvõrrandid, faasidiagramm. üldkuju dy/dt+uy=w *konstantse koraja ja vabaliikmega LDV-d Dy/dt+u(t)y=w(t) u(t)=k1 , w(t)=k2 Homogeenne juht: u(t)= k1, w(t)=0 , dy/dt+ay=0 , y(t)Ae -at , a=0 korral y(t)=yc+yp=A+bt Mittehom.juht: dy/dt+ay=b , yc=Ae-at , y(t)=yc+yp , yp=b/a *Muutuva koefitsendi ja vabaliikmega LDV: dy/dt+u(t)y=w(t) Homogeenne juht: w(t)=0 , dy/dt+u(t)y=0 , y=Ae -u(t)dt Mittehom: y(t)= e-u(t)dt (A+weu(t)dt dt) *Mittelineraarsed DV f(y;t)dy + g(y;t)dt=0 Ekstaktsed õnnestub teisendada lineraarseks ekstraktsusest loobudes Eralduvate muutujatega f(y)dy + g(t)dt=0, lahendab vahetult integreerides DV-d, mis taanduvad lin.kujule Bernoulli DV dy/dt+Ry=Ty m |:ym
annaabi.ee 
