2 ± 4 - 4 1 ( -3) 2 ± 4 + 12 2 ± 16 2 ± 4 x= = = = . 2 1 2 2 2 2+4 6 2-4 -2 Siit x1 = = =3 ja x2 = = = -1. 2 2 2 2 Kuna a = 1, siis x2 - 2x - 3 = 0 on taandatud ruutvõrrand, mida on otstarbekam lahendada taandatud ruutvõrrandi lahendivalemi abil. 2 p p Taandatud ruutvõrrandi x2 + px + q = 0 lahendivalem on x=- ± -q 2 2 Näide 7. Lahendame ruutvõrrandi x2 - 2x - 3 = 0 taandatud ruutvõrrandi lahendivalemi abil. Selles võrrandis p = -2 ja q = -3.
bx lineaarliige c vabaliige Valem. Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mida saab esitada kujul . Seejuures tähistavad a, b ja c reaalarvulisi kordajaid. Ruutvõrrandi lahendamiseks saab kasutada valemit . Kui a=1, on tegemist taandatud ruutvõrrandiga, kuid ka sellisel juhul on võimalik lahendeid leida üldise ruutvõrrandi lahendivalemi abil. Diskrimnant Ruutvõrrandil on alati kaks lahendit, see on tagatud valemis sisalduva ruutjuurega. Erijuhtudel võivad lahendid kattuda (kokku langeda). Ruutvõrrandil võivad ka reaalarvulised lahendid puududa. Selline olukord tekib juhul, kui ruutjuure all olev avaldis on negatiivne. Juurealust avaldist nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. Biruutvõrrand Biruutvõrrandiks nimetatakse neljanda astme algebralist võrrandit, mis on teisendatav kujule kus x on tundmatu ja a 0
tehakse asendus x2 = y, lahendatakse tekkiv abivõrrand ay 2 by c 0 abivõrrandi lahendit y1 ja y2 kaudu avaldatakse esialgse võrrandi lahendid x1, 2 y1 x 3, 4 y 2 algusesse Näide Näide Lahendame võrrandi x 4 3x 2 4 0. Lahendus Teeme asenduse x2 = y, saame y 2 3 y 4 0. Tekkinud abivõrrandi lahendame taandatud ruutvõrrandi lahendivalemi abil: 2 3 3 y1, 2 4 2 2 y1 1 y2 4 algusesse Näide Seosest x2 = y leiame, et y = 4 korral x1 = 2 x2 = -2 y = -1 reaalarvulisi lahendeid ei anna Ruutvõrrandi ja biruutvõrrandi puhul tuleb saadud lahendeid kontrollida täpselt samuti nagu lineaarvõrrandi korral.
Ülesanne 13. Lahenda võrrand. 1) x2 4x 12 = 0 2) x2 + 12x + 20 = 0 3) x2 + 11x + 24 = 0 4) x2 + 8x 16 = 0 5) x2 + 6x 10 = 0 Vastused: 6; 2; 10; 2; 8; 3; 4; lahendid puuduvad. Mittetäielikud ruutvõrrandid. Ruutvõrrandit, kus puudub lineaarliige või vabaliige või lineaar- ja vabaliige nimetatakse mittetäielikuks ruutvõrrandiks. Mittetäielikke ruutvõrrandeid saab lahendada täieliku ruutvõrrandi lahendivalemi abil või järgmiselt: 1) Kui võrrandis ax2 + bx + c = 0 on b = 0 (puudub lineaarliige), siis saame võrrandi ax2 + c = 0. Selle lahendamiseks viime vabaliikme vastandmärgiga teisele poole võrdusmärki: ax2 = c÷a Mõlemad võrrandi pooled jagame läbi muutuja juures oleva arvuga. c x2 = Nüüd võtame mõlemast poolest ruutjuure, saame: a c x1,2 = ± - .
2 kolmandal kohal vabaliige ning paremal -u +2u-2=0 |:(-1) 2 poolel null; vajadusel kaotada murrud või u -2u+2=0 a=1 b=-2 c=2 sulud NB vajalik selleks, et saaks võrrandit lahendama hakata 13.Täielik ja mittetäielik ruutvõrrand - Ül.1326 täielik: kõik kolm liiget olemas Otsustada, milline võrrand on täielik ja 2 ax +bx+c=0; lahendatakse lahendivalemi milline mitte ning nimetada kõik kolm abil; mittetäielik: ruutliige peab alati olema kordajat. 2 ja veel võib olla kas lineaarliige või 2x -3x=0 mittetäielik vabaliige või pole kumbagi, seega kordajad a=2, b=-3, c=0 2 2 2 ax +bx=0, ax +c=0, ax =0; lahendatakse 2
Saame x 2 2 2 5 ; x 2 9 ; x 2 3; x 1 2 3 1; x 2 2 3 5. Kontroll: x1 = 1 Vasak pool: 12 + 4 . 1 – 5 = 1 + 4 – 5 = 0. Parem pool on võrdne vasaku poolega. x2 = – 5 Vasak pool: (– 5)2 + 4 . (– 5) – 5 = 25 – 20 – 5 = 0. Parem pool on võrdne vasaku poolega. Vastus: x1 = 1 ja x2 = – 5 Näide 15 Lahendada võrrand 2 x x 1 0 . 2 Lahendus. Ruutvõrrandi lahendivalemi kohaselt 1 1 1 4 2 1 3 x 4 4 , x1 0,5 , x2 1 . Vastus. x1 0,5 , x2 1 . Näide 5. Lahendada võrrand x 4 x 5 0 . 2 Lahendus. Taandatud ruutvõrrandi lahendivalemi kohaselt x 2 4 5 2 3 , x1 5 , x2 1 . Vastus. x1 5 , x2 1 . Näide 16
24 4x − 1 Näide 3. Lahendada võrrand + 1 = 2( x + 4 ) − 5 . 2 Lahendus. Teeme vajalikud teisendused: 4x − 1 + 1 = 2( x + 4) − 5 ⋅2 2 4 x − 1 + 2 = 4 x + 16 − 10 4 x − 4 x = 16 − 10 − 2 + 1 0 ⋅ x = 5. Vastus. Võrrandil puudub lahend. Näide 4. Lahendada võrrand 2 x 2 − x − 1 = 0 . Lahendus. Ruutvõrrandi lahendivalemi kohaselt 1 ± 1 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −1) 1± 3 x= , x1 = −0,5 , x2 = 1 . = 4 4 Vastus. x1 = −0,5 , x2 = 1 . Näide 5. Lahendada võrrand x 2 + 4 x − 5 = 0 . Lahendus. Taandatud ruutvõrrandi lahendivalemi kohaselt x = −2 ± 4 + 5 = −2 ± 3 , x1 = −5 , x2 = 1 . Vastus. x1 = −5 , x2 = 1 . Näide 6. Lahendada võrrand x 2 − x − 6 = 0 . Lahendus
), teda on piisavalt lihtne joonistada ning kirja panna ja samas on ruutfunktsiooni nullkohtadel esmapilgul keerulisena näiv lahendivalem, millega õpilasi hirmutada. Või siiski? Alustame ruutfunktsiooniga tutvumist tema graafiku juurest ja näitame, kuidas kõik erinevad ruutfunktsioonid on lihtsate geomeetriliste teisenduste kaudu oma- vahel seotud. Seejärel leiame ruutfunktsiooni lahendivalemi ja anname sellelegi geomeetrilise intuitsiooni. 272 Ruutfunktsiooni graafik Niipea kui oleme joonistanud ühe funktsiooni graafiku, saame hakata sellega män- gima. Näiteks võime seda graafikut nihutada ja erinevatest sirgetest peegeldada. polünoom Kuigi lõbus on see alati, saab sellest protseduurist ka mõnikord kasu lõigata. Näi-
annaabi.ee 
