valemi tõesus: 1) 0 (induktsiooni baas), 2) [ ] (induktsiooni samm) Liitmise assotsiatiivsus Naturaalarvude liitmine on assotsiatiivne: [ + ( + ) = ( + ) + ] Tõestus: Kahe välimise üldisuse kvantori jaoks kasutame otsese tõestamise taktikat. Tähistagu ja suvalisi naturaalarve. Piisab, kui tõestame [ + ( + ) = ( + ) + ] Kasutame siin üldisuse kvantoriga väite tõestamiseks induktsiooni muutuja z järgi. Siis on vaja tõestada: o Lemma 1.1 + ( + 0) = ( + ) + 0 (baaslemma) o Lemma 1.2 [( + ( + ) = ( + ) + ) ( + ( + ) = ( + ) + )] (sammulemma) Lemma 1.1 tõestuseks rakendame kummalgi pool aksioomi P3: Vasak pool: + ( + 0) = + , Parem pool: ( + ) + 0 = + . Järelikult on vasak ja parem pool tõepoolest võrdsed. Lemma 1.2 tõestus. Üldisuse kvantoriga lemma 1.2 tõestamiseks tähistagu c
Argumentum ad ignominiam 56.Üldisuskvantori eemaldamisel (loomulikus tuletussüsteemis) tuleb asendada … Muutuja kõik vabad esinemised suvalise konstandiga. 57.Küsimus on õigesti koostatud, kui … Sellel on vähemalt kaks võimalikku ja erinevat vastust. 58.Loogilises ruudus on osaeitav väide üldeitava väite suhtes … Alluv. 59.Hägusloogikas on: Lausete tõesusaste reaalarv nullist üheni. 60.Väitlause kvantiteeti väljendatakse tavaliselt … Kvantoriga. 61.Milline loetletud definitsioonitüüpidest ei kuulu intensionaalsete definitsioonide hulka? Ostensiivne definitsioon. 62.Deduktiivne arutlus enamasti suunatud: Üldiselt üldisele. 63.Seda osa sõna tähendusest, mida seostatakse assotsiatsioonide ja emotsioonidega, mida sõna esile kutsub, nimetatakse sõna… Konnotatiivseks tähenduseks. 64.Valem on disjunktiivsel normaalkujul, kui see koosneb: Elementaarkonjuktsioonide disjunktsioonidest. 65
• Kvantorid Üldistuse ja abstraktsiooni väljendamiseks Predikaatarvutuse arutlus kehtib mingi valdkonna objektide kohta Valdkonna objektide hulka kokku nimetatakse universumiks. - Üldisuskvantor (universal quantifier) - universumi kõikide objektide kohta käiva väite esitamiseks. Muutuja on valemis seotud, kui ta esineb koos kvantoriga ja avaldises kvantori mõjupiirkonnas ja vastasel juhul on muutuja valemis vaba. Muutuja väärtustamisel saadavat lauset nim. väärtustatuks ja väärtustamata lause eksemplariks. 3.2 Predikaatloogika süntaks ja semantika Indiviidtermid on indiviidkonstantide sümbolid ja indiviidmuutujad • Süntaks(induktiivselt) Atomaarne valem e. aatom on kujul L, kus L on 0-kohaline predikaatsümbol e.lausemuutuja 1. Atomaarne valem on valem 2
• Esineb mingi hulga tähis x • Ei esine kirjutist "x ega $x Moodustame valemi "xW. Valemi "xW klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks on vale, kui leidub vähemalt üks niisugune hulk, mille tähiseks on x ja mille korral valemi W klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks on vale. Valemi "xW klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks on õige, kui iga hulga korral, kui selle hulga tähiseks võtta x, on valemi W klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks on Olemasolu kvantoriga algavatele valemitele klassikaliselt omistatud tõeväärtused Vaatleme valemit W, milles • Esineb mingi hulga tähis x • Ei esine kirjutist "x ega $x Moodustame valemi $xW. Valemi $xW klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks on õige, kui leidub vähemalt üks niisugune hulk, mille tähiseks on x ja mille korral valemi W klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks on õige. Valemi $xW klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks on vale, kui
Kui predikaat on hulk, siis selle kasutus on võrdne mingi indiviidi asetamisega sellesse hulka. Nt: see poiss on geenius = see poiss on selles hulgas, kuhu geeniused kuuluvad. Hulgateooria predikatsioon ehk suhe ,,kuulub x hulka". Komplekspredikaate võib tõlgendada hulkade ühisosana (nt valge koer on valgete asjade hulga ja koerte hulga ühisosa üks liikmetest). Vabad muutujad: x, y jne hoiavad kohta. Vaba muutuja väärtus on avatud sisuga. Muutuja seotakse kvantoriga. Eksistentsiaalkvantor = eksisteerib miski/mõni asi, mille kohta kehtib, et... Sellega kaasneb konjunktsioon. Üldsuskvantor = kõik/igaüks. Iga konkreetse asja kohta peab kehtima, et... Sellega kaasneb implikatsioon. Semantika ülesanded 1) Tõeväärtuse leidmine, tabelid 2) Predikaatloogika
programmeerimise, infosüsteemide jms-ga. Telefoniraamatu ülesanne, kuidas leiab kiiremini jne.. 9 9. **Tõestamise strateegiad, mis tulenevad eelduste või juba tõestatud faktide kujust: konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents, eitus, üldisus, olemasolu. [3] Implikatsiooni tõestamise tavaline taktika on järgmine. Eeldame, et lisaks teoreemi eeldustele kehtib ka B. Tõestame 10. Üldisuse kvantoriga väite tõestamine induktsiooniga naturaalarvudel. [2, 3, L15 slaidid] Kvantoreid sisaldavate valemite korral eeldame, et on fikseeritud mingi universaalne hulk ja tähendab: „iga korral hulgast kehtib “, tähendab: „leidub selline , et kehtib “. Vaatame nüüd läbi kõik loogilised seosed. Alustame nendest, mis esinesid ülaltoodud näites. Tavaline üldisuse kvantoriga väite tõestamise esimene samm on selline: Tähistagu muutuja suvalist universaalse hulga elementi.
a.ii. Päringukeeltes a.iii. Semantilises veebis (ontoloogiad) jne. 9) a. Tõestamise strateegiad. https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php?id=96258 b. https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php?id=89132 10) a. **Kvantorite distributeerumine konjunktsiooni ja disjunktsiooniga. b. **Kvantorite ettetoomine. https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php? id=96260 11) a. Üldisuse kvantoriga väite tõestamine induktsiooniga naturaalarvudel. https://moodle.ut.ee/mod/url/view.php?id=107318 lk 4 9 https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php?id=136869 Hulgateooria 12) a. Hulga all mõistetakse üksteisest erinevate objektide kogumit, mida vaadeldakse ühe tervikuna ja kus iga objekti korral on võimalik üheselt kindlaks määrata, kas ta kuulub antud hulka. b
elementidele omistatakse; väite kvantor rakendub subjektile, määrates, kas predikaadiga öeldu kehtib kõigile subjekti mahu elemetidele (rakendub üldiselt) või mingile osale neist (rakendub osaliselt). Kvantori üldist või osalist rakendumist nimetatakse ka väite kvantiteediks (kas üldine või osaline); väite koopula väljendab predikaadi preditseerimist subjektile, koopulaks on kas jaatus (predikaadi mahu elemendiks olemise omistamine subjekti elementidele kvantoriga etteantud määral) või eitus (predikaadi mahu elemendiks mitteolemise omistamine subjekti elementidele). Eitust või jaatust nimetatakse ka väite kvaliteediks. Väitlauses väljendab väite subjekti subjektitermin ehk väitlause subjekt ning väite predikaati predikaaditermin ehk väitlause predikaat. Terminikeskse käsitluse järgi tuleb subjekti ja predikaadi all eelkõige silmas pidada termineid, mitte mõisteid. Kui subjekti (subjektitermini)
elementidele omistatakse; väite kvantor rakendub subjektile, määrates, kas predikaadiga öeldu kehtib kõigile subjekti mahu elemetidele (rakendub üldiselt) või mingile osale neist (rakendub osaliselt). Kvantori üldist või osalist rakendumist nimetatakse ka väite kvantiteediks (kas üldine või osaline); väite koopula väljendab predikaadi preditseerimist subjektile, koopulaks on kas jaatus (predikaadi mahu elemendiks olemise omistamine subjekti elementidele kvantoriga etteantud määral) või eitus (predikaadi mahu elemendiks mitteolemise omistamine subjekti elementidele). Eitust või jaatust nimetatakse ka väite kvaliteediks. Väitlauses väljendab väite subjekti subjektitermin ehk väitlause subjekt ning väite predikaati predikaaditermin ehk väitlause predikaat. Terminikeskse käsitluse järgi tuleb subjekti ja predikaadi all eelkõige silmas pidada termineid, mitte mõisteid. Kui subjekti (subjektitermini)
• Väited võivad olla tõesed ja väärad, vastavalt sellele, kas tegelikkuses on nii, nagu on öeldud. Väide koosneb onomast ja rhemast. • Väide = onoma(1) + rhema rhema = koopula + onoma(2) • (substants) on (substantsi atribuut) • Nt Sokrates kõnnib = Sokrates on kõndiv • Selliselt formuleeritud väiteid oli vaja süllogismi jaoks, milles onoma (1) on laiendatud kvantoriga. • Ülekanne (metaphora) seisneb selles, et asjale antakse teise asja nimi. • A. metafoorikäsitlus põhineb arusaamal, et nimed kuuluvad asjade juurde ja ainult erandkorras (luules) võib nimesid üle kanda. (tänapäeval ei pea paika) • Metafooride käsitlus Poeetikas on esimene teadaolev empiiriline keeleteaduslik käsitlus: A. näitab, kuidas me mõnikord saame aru sõnadest ka siis, kui need ei ole oma tavalises tähenduses. Kasutab
∀x ∃y ( x + y = 9 ) P(x) ≡ (x > 2) ∧ (x < 4) (eelneva predikaatlause tõeväärtus oleneb ta määramispiirkonnast) esmalt üldsuse kvantorit ning seejärel olemasolu kvantorit ning leiame tulemuseks olevate lausete tõeväärtused: Kvantoriga võivad olla seotud ka mitu muutujat: ∀ x P ( x) [vale] ∃x ∃ P ( x) [tõene] ∀x ,y P (x, y) ≡ ∀x∀ ∀y P (x, y) Sarnaselt muutujateta lausearvutuslausetega saab ka predikaate siduda
annaabi.ee 
