ehk muutumispiirkonnaks. Näiteid hulga kujutistest: 1) Vaatleme funktsiooni ()=2, : . Siis ([-10,10])=[0,100] ja ()= [0,). 2) Vaatleme funktsiooni () = (). Siis ()=[-1,1], aga ka ([-,])= ([0,2]=[-1,1]. 3) Vaatleme funktsiooni ()=(). Siis ((0,1]) = [-,0]. 4) Vaatleme funktsiooni () = +2 , : . Siis ([-10,10])=[-8,12]. Hulga ja elemendi originaal Olgu antud funktsioon : . Hulga originaaliks nimetatakse hulka, mis koosneb kõigist nendest hulga elementidest, mis kujutuvad hulga elemendiks, s.t. -1()={ | ()}. Räägitakse ka sellest, et funktsiooni määramispiirkonna element on hulga elemendi originaal, kui ()=. Näiteid: 1) Vaatleme funktsiooni ()=2, : . Siis -1({1})={1,-1} ja -1([-10,-5])= . 2) Vaatleme funktsiooni ()=0, : . Siis -1({0})={}. 3) Vaatleme funktsiooni ()=+1, : . Siis -1({0})={-1}. Hulga kujutise omadusi Teoreem 1. Olgu funktsioon hulgast hulka ja ,. Siis 1. ( )= 2. () 3. Kui , siis ()() 4. ()=()() 5. ()()() Tõestus. 1
, kus f=maaellipsoidi polaarpikkus(m), a=maaellipsoidi pikem pooltelg(m), b=maaellipsoidi lühem pooltelg(m). (lk.8,13) 33. Milline on meridiaanisuunaliste moonutuste iseloom asimuudilistes polaarprojektsioonides? Asimuudiliste projektsioonide puhul loetakse Maa harilikult sfääriks raadiusega R. Polaarprojektsioonis koosneb normaalvõrk meridiaanidest ja paralleelidest. Aimuudilistes polaarprojektsioonides kujutuvad meridiaanid ühes punktis lõikuvate sirgetena, mille lõikenurgad võrduvad vastavate geograafiliste pikkuste vahega. Parallelid on kontsentrilised ringjooned, kusjuures ühiseks tsentriks on meridiaanide lõikepunkt. Asimuudilises polaarprojektsioonis ühtivad peasuunad meridiaanide ja paralleelidega ning m=a ja n=b (a-maksimaalne, bminimaalne mõõtkava). Moonutused olenevad vaid geograafilisest laiusest (suur fii) ja moonutuste samajooned ühtivad paralleelidega. 34
territooriumide kaardistamiseks [1] Joonis 9. Mercatori põikprojektsioon Mercatori kaldprojektsioon • Sama põhimõttega kui Mercatori põikprojektsioon • Lähtejooneks, mis kaardil kujutub sirgena, pole mitte telgmeridiaan, vaid suvalise suurringi kaar ehk geodeetiline joon kahe punkti vahel • Moonutused suurenevad eemaldudes lähtejoonest • Meridiaanid ja paralleelid kujutuvad kõverjoontena • Sobib diagonaalse väljavenitatusega maade kaardisüsteemi aluseks • Suhteliselt keerulise matemaatilise mudeli tõttu kasutatakse vähe • Kasutamist leidnud seoses kaugseirega, sest paljude satelliitide trajektoorid on just kaldsed [1] Joonis 10. Mercatori kaldprojektsioon Gall´i projektsioon • Aluse pani James Gall 1855. aastal [5]
elementi x nimetatakse funktsiooni f elemendi y originaaliks. Elemendi y -1 originaalide hulka tähistame sümboliga f ({ y }) . Mõnel hulga Y elemendil võib originaale olla üks, mõnel rohkem ja mõnel mitte ühtegi. Definitsioon Hulga B Y -1 originaaliks nimetatakse hulka f ( B) , mis koosneb kõigist nendest hulga X elementidest, mis kujutuvad hulga B elemendiks, s.t f -1 (B)={ x X : f (x ) B } . -1 Tähistus f ei tähenda siin, et funktsioonil f peaks leiduma pöördfunktsioon. Küll aga, kui funktsioonil f leidub pöördfunktsioon, siis need mõisted hulga B originaal ja hulga B kujutis pöördfunktsiooniga ühtivad. Teiseks, pane tähele, et -1 x f (B) f (x ) B .
kaardiprojektsioon. Konformsuse tagamiseks tuleb meridionaalset erimõõtkava kasvatada võrdeliselt paralleelidel kehtiva erimõõtkavaga. Selle tulemuseks on ekvaatorist eemaldudes logaritmiliselt suurenevad paralleelide vahed. Pikkuste ja pindalade moonutus kasvab selle tõttu projektsiooni servadel lõpmatult suureks. Mercatori projektsiooni eripära seisneb selles, et loksodroomid (kindla asimuudiga kursid), mis maasferoidil on kujutatud kõverjooneliselt kujutuvad sirgetena. Sellepärast ongi see projektsioon eriti väärtuslik merenavigatsioonikaartide jaoks. Ära tuleks märkida ka see, et 0-20° paralleelide vahe on kolm korda väiksem kui laiustel 60-80°. Suur läbimurre merenduskartograafias 16. Sajandil · Palestiina kaart 1537. · Mercatori esimene maakaart 1538. See kaart oli esimene, kus oli ära näidatud, et Lõuna-Ameerika ja Põhja-Ameerika on eraldi mandrid
piirkonnaks ehk muutumispiirkonnaks. 19. Hulga kujutis. Hulga originaal. Funktsioonide kompositsioon. **Kujutise ja originaali omadused. [3, 4,5] Hulga kujutis o DEF: Hulga A⊆X kujutiseks nimetatakse hulga Y alamhulka, mis koosneb kõikide A elementide kujutistest: f(A) = { f(x) | x∈A} = { y∈Y | ∃x[x∈A & f(x)=y] ) Hulga originaal o DEF: Hulga B⊆ Y originaaliks nimetatakse hulka, mis koosneb kõigist nendest X elementidest, mis kujutuvad hulga B elemendiks: f 1(B) = { x∈X | f(x)∈B } Funktsioonide kompositsioon o DEF: Funktsioonide f : X→Y ja g : Y→Z korrutiseks ehk kompositsiooniks nimetatakse funktsiooni gf: X→Z, mis määratakse võrdusega (gf)(x) = g(f(x)), x∈X Kujutise omadused o Olgu f funktsioon X→ Y ja A, B ⊆ X. Siis 1. f(∅) = ∅ 2. f(X) ⊆ Y 3. Kui A ⊆ B, siis f(A) ⊆ f(B) 16 4. f(A∪B) = f(A) ∪ f(B) 5
= (a, b) ; s.t. z = a + bi , = (a, b). Niisiis geomeetriliselt kompleksarv z = a + bi näeb välja selliselt: Sellist tasandit, millel on kujutatud kompleksarvud, nimetatakse komplekstasandiks. Vaatleme, kuidas saab geomeetirliselt tõlgendada kaaskompleksarvu mõiste ning algebralised tehed kompleksarvudega. Kui z = a + ib, siis ehk y-koordinaat on b ja x-koordinaat on sama Seega geomeetriliselt kujutuvad kompleksarvud z ja sümmeetriliselt x telje suhtes. Vaatleme nüüd liitmise geomeetrilise tõlgenduse. Olgu , , siis . Arvudele , ja vastavad kohavektorid on OA a, b, OB c, d ja OC a c, b d. Teiselt poolt OB OA a, b c, d a c, b d OC . Seega geomeetriliselt tähendab kompleksarvude liitmine vastavate kohavekotrite liitmist. Analoogiliselt saab näidata, et kompleksarvude lahutamine kujutub geomeetriliselt
annaabi.ee 
