Jada tõkestatus - Jada{xn} nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline arv M > 0, et iga n ∈ N korral xn ∈ UM (0), st ∀n ∈ N(| xn | ≤ M). Osajadad - Iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmisel nim. selle jada osajadaks. Bolzano – Weierstrass teoreem - Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Monotoonne jada - jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav võimittekahanev. 5.Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunkti mõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega. Cauchy jadad - Jadal xn on lõplik piirväärtus parajasti siis, kui vastavalt igale pos.arvule ε leidub niisugune naturaalarv n0, et iga naturaalarvu p puhul kehtib |x+p-xn|<ε, kui n>n0 . Kuhjumispunkt - arv, mille igas ümbruses on lõpmata palju vaadeldava jada liikmeid. Kuhjumispunkti seos jada koonduvusega - *Jada {Xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt.
3). Näitame, et iga Cauchy jada koondub. Olgu {Xn} Cauchy jada. Kuna iga Cauchy jada on tõkestatud, siis Bolzano-Weierstrassi teoreemi kohaselt sisaldab {Xn} mingi koonduva osajada {Xnk}'d. *Tähistame nk ja näitame, et nk=a. *Olgu >0 ja N selline indeks, et |Xn+p - Xn| < (n>N, p N) *Olgu K N valitud nii, et nk>N, kui k>K ja |Xnk - a|< . Seeg e õ g nde te n N puhu |Xn - a| = |Xn -Xnk +Xnk - a| |Xnk - Xn| + |Xnk - a|< = 10*(Kuhjumispunkti mõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega)Jada kuhjumispunktiks nimetatakse arvu, mille igas ümbruses on lõpmata palju vaadeldava jada liikmeid. *Jada {Xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt. *Arv a on jada {Xn} kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada {Xnk}, mis koondub arvuks a. 11*(Funktsiooni piirväärtuse mõiste. Seos jada piirväärtusega.Reaalmuutuja funktsiooni
{xn} osajadaks {yn} nimetatakse jada, mis on saadud jadast {x n} lõpliku või lõpmatu hulga jadaSaame vastuolu kuna vastavalt eeldusele Uε(a) ∩ Uε(b) = ∅ elementide väljajätmise teel. Bolzano-Weierstrass: Igast tokestatud jadast saab eraldada koonduva 4. Koonduva jada tõkestatuse tõestus. osajada. Edaspidi 7,8 cauchy jada kohta 5. Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunkti mõiste. Kuhjumispunktide seos 5. Sõnastada jada piirväärtuse peamised omadused. Üks omadus tõestada. jada koonduvusega. 6. Naidata, et kui limn→∞xn = a ja limn→∞yn = a ning xn < zn < yn, siis limn→∞ zn = a. Öeldakse, et{xn} on Cauchy jada ehk fundamentaaljada, kui iga ε > 0 korral leidub N ∈ N, et iga Toestus: Fikseerime ε
x→ a f (x) ) *Lõpmata väikese suuruse korrutis tõkestatud suurusega on lõpmata väike suurus. 10*(Kuhjumispunkti mõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega)Jada kuhjumispunktiks nimetatakse arvu, mille igas ümbruses on lõpmata palju vaadeldava jada liikmeid. *Olgu α (x) lõpmata väike suurus piirprotsessis xxo ja f(x) tõkestatud *Jada {Xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt.
Seose tõttu a = (1 + vn)n > nvn ehk 0 < vn< a 1/n iga n ∈N korral. Siit saame tänu lausele **, et vn→ 0 ehk a1/n→ 1 protsessis n → ∞. Kui a < 1, siis b :=1/a> 1, mistõttu eelneva arutelu põhjal b 1/n→ 1 ning Väide on tõestatud. ** - Kui xn → a ja yn → a ning seejuures leidub selline N0∈ N, et xn ≤ zn ≤ yn iga n ≥ N0 korral, siis zn → a 13. Funktsiooni piirväärtused Defineerida hulga D ⊂ R kuhjumispunkti mõiste, tuua näiteid. Arvu a nimetatakse hulga D ⊂ R kuhjumispunktiks, kui (Uρ (a){a}) ∩ D ̸= ∅ iga ρ > 0 korral, s.t. kui punkti a iga ümbrus, millest arv a ise on välja jäetud, sisaldab hulga D elemente. Kui D on suvaline intervall otspunktidega a ja b, kus a < b, siis hulga D kuhjumispunktideks on kõik arvud x ∈ [a, b] Arv 0 on mõlema hulga {−1/n| n ∈ N} ja {1/n| n ∈ N} ainuke kuhjumispunkt Funktsiooni f : D → R korral defineerida .
(3.7) Kui piirväärtuse definitsioonis (3.1) oli oluline nõuda, et 0 < |x − a|, s.t. x 6= a, siis antud juhul on see nõue üleliigne: kui x = a, siis |f (a) − f (a)| = 0 < ε, seega kehtib implikatsiooni (3.7) väide automaatselt. Märkus. Nõuet, et a oleks funktsiooni f : D → R kuhjumispunkt, abstraktsemates kursustes (funkt- sionaalanalüüs, üldine topoloogia) lihtsuse huvides sageli ei püstitata. Seal piirdutakse nõudega, et a ∈ D. Kuhjumispunkti nõue võimaldab vältida olukorda, kus tingimus |x − a| < δ on alati väär ja seega implikatsioon |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε alati tõene, mistõttu f oleks sellises punktis alati pidev (sõltumata väärtusest f (a) ja funktsiooni f käitumisest). Nii näiteks funktsiooni f : {0} ∪ [1, 2] → R, kus f (x) = 5 iga x ∈ {0} ∪ [1, 2] korral, pidevuse kohta punktis 0 ei saa käesolevas kursuses üldse küsimust esitada, kuna 0 pole hulga {0}∪ [1, 2] kuhjumispunkt.
annaabi.ee 
