Olgu ruumiline v V (kolmemõõtmeline) piirkond V piiratud kinnise pinnaga S, millel on järgmised omadused: 1) iga sirge, mis on paralleelne z-teljega ja läbib piirkinna V seesmist (mitte pinnal S asetsevat) punkti, lõikab pinda S kahes punktis; 2) piirkonna V projektsioon xy-tasandil on regulaarne (kahemõõtmeline) piirkond D; 3) piirkonna V iga osa, mis on sellest ära lõigatud ühe koordinaattasandiga (xy, xz või yz) paralleelse tasandiga. Selliste omadustega piirkona V nimetatakse regulaarseks kolmemõõtmeliseks piirkonnaks. Sellisteks piirkondadeks on näiteks ellipsoid, risttahukas, tetraeeder. Kolmikintegraalil on järgmised omadused. Omadus 1. Kui piirkond V jaotada kaheks piirkonnaks V 1 ja V 2 tasandiga, mis on paralleelne ühe koordinaattasandiga, siis kolmikintegraali saamiseks üle piirkonna V tuleb liita kolmikintegraalid üle piirkondade V 1 ja V 2
keha ruumala arvutamine kolmekordse integraali abil. Olgu ruumiline (kolmemõõtmeline) piirkond V piiratud kinnise pinnaga S, millel on järgmised omadused: 1) iga sirge, mis on paralleelne z-teljega ja läbib piirkonda V seesmist punkti, lõikab pinda S kahes punktis; 2) piirkonna V projektsioon xy-tasandil on regulaarne (kahemõõtmeline) piirkond D; 3) piirkonna V iga osa, mis on sellest ära lõigatud ühe koordinaattasandiga (xy, xz või yz) paralleelse tasandiga, on samuti omadustega (1) ja (2). Selliste omadustega piirkonda V nim. regulaarseks kolmemõõtmeliseks piirkonnaks. Regulaarseks kolmemõõtmeliseks piirkonnaks on näiteks ellipsid, risttahukas, tetraeeder jms. Olgu piirkonda V alt piirava pinna võrrand z=1(x,y) ja ülalt piirava pinna võrrand z= 2(x,y). Vaatleme kolmikintegraali IV üle piirkonna V kolme muutuja funktsioonist z=f(x,y,z), mis on defineeritud ja pidev piirkonnas V. Olgu
nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis. 5.17 Kolmnurga lahendamine 5.18 Kahe nurga summa ja vahe sin ja cos 5.19 Kahe nurga summa ja vahe tan 5.20 Kahekordse nurga sin, cos, tan Vektor tasandil Kui A(x1) ja B(x2), siis lõigu AB pikkus on AB=|x1-x2| Arvtelje lõigu keskpunkti koordinaat võrdub lõigu otspunktide koordinaatide aritmeetilise keskmisega. Kui tasandil on määratud koordinaatteljestik siis on tegemist koordinaattasandiga (Descartes'i ristkoordinaadistik) 6.1 Lõigu keskpunkt Koordinaattasandil asuva lõigu keskpunkti koordinaatideks on lõigu otspunktide samanimeliste koordinaatide aritmeetilised keskmised. 6.2 Lõigu pikkus Olgu lõigu otspunktid A ja B. Projekteerime need punktid x ja y teljele ning tekib täisnurkne kolmnurk ABC. Selles kolmnurgas on AC=|y2-y1| ja BC=|x2-x1|. Tähistades punktide A ja B vahelise kauguse tähega d, saame seose: 6.3 Vektor
mingi jõujoon), pole kõiki neid võimalik joonisele kanda. Kokkuleppeliselt joonestatakse jõujooned nii, et nende tihedus oleks võrdeline väljatugevusega antud ruumiosas. Samapotentsiaalipind on kinnine pind, mis ühendab sama potentsiaaliga väljapunkte. Ka samapotentsiaalipinnad paiknevad lõpmata tihedalt (igal väljapunktil on mingi potentsiaal). Joonisele kantakse tavaliselt potentsiaali kindlatele "ümmargustele" väärtustele vastavad pinnad (tegelikult pindade lõikejooned mingi koordinaattasandiga). Punktlaengu väljatugevus ja potentsiaal. Mida tugevam on väli (tihedamalt jõujooned) seda kiiremini muutub potentsiaal (seda lähemal on üksteisele samapotentsiaalipinnad). Elektrivälja tugevuse ühikuks SI süsteemis on volt meetri kohta (V/m), potentsiaali ühikuks on volt (V). Ühikud: (volt meetri kohta) (volt) Elektrivälja kohta kehtivad kaks teoreemi:
mingi jõujoon), pole kõiki neid võimalik joonisele kanda. Kokkuleppeliselt joonestatakse jõujooned nii, et nende tihedus oleks võrdeline väljatugevusega antud ruumiosas. Samapotentsiaalipind on kinnine pind, mis ühendab sama potentsiaaliga väljapunkte. Ka samapotentsiaalipinnad paiknevad lõpmata tihedalt (igal väljapunktil on mingi potentsiaal). Joonisele kantakse tavaliselt potentsiaali kindlatele "ümmargustele" väärtustele vastavad pinnad (tegelikult pindade lõikejooned mingi koordinaattasandiga). Punktlaengu väljatugevus ja potentsiaal. Mida tugevam on väli (tihedamalt jõujooned) seda kiiremini muutub potentsiaal (seda lähemal on üksteisele samapotentsiaalipinnad). Elektrivälja tugevuse ühikuks SI süsteemis on volt meetri kohta (V/m), potentsiaali ühikuks on volt (V). Ühikud: (volt meetri kohta) (volt) Elektrivälja kohta kehtivad kaks teoreemi:
jõujoon), pole kõiki neid võimalik joonisele kanda. Kokkuleppeliselt joonestatakse jõujooned nii, et nende tihedus oleks võrdeline väljatugevusega antud ruumiosas. Samapotentsiaalipind on kinnine pind, mis ühendab sama potentsiaaliga väljapunkte. Ka samapotentsiaalipinnad paiknevad lõpmata tihedalt (igal väljapunktil on mingi potentsiaal). Joonisele kantakse tavaliselt potentsiaali kindlatele "ümmargustele" väärtustele vastavad pinnad (tegelikult pindade lõikejooned mingi koordinaattasandiga). Näitena toome positiivse ühiklaengu välja graafilise pildi. Et jõujooned aitavad mõista välja geomeetriat, kasutame neid ka edaspidi. Punktlaengu väljatugevus ja potentsiaal. Mida tugevam on väli (tihedamalt jõujooned) seda kiiremini muutub potentsiaal (seda lähemal on üksteisele samapotentsiaalipinnad). Ühikud: (volt meetri kohta) (volt) Elektrivälja kohta kehtivad kaks teoreemi:
23) V abil. N¨aidet selle valemi kasutamise kohta vaatleme allpool. 7.8 Kolmekordse integraali arvutamine Ruumilist piirkonda V nimetatakse regulaarseks, kui on t¨aidetud j¨argmised tingimused. 1. Iga z-teljega paralleelne sirge, mis l¨abib piirkonna sisepunkte, l~oikab piirkonna rajapinda kahes punktis. 2. Piirkonna projektsioon xy-tasandil on regulaarne tasandiline piirkond. 3. Kui piirkonda l~oigata mingi koordinaattasandiga paralleelse tasandiga, siis l~oike tagaj¨arjel tekkinud osad on omadustega 1. ja 2. Regulaarne piirkond V on kirjeldatav tingimustega a x b, 1 (x) y 2 (x) ja 1 (x, y) z 2 (x, y). Sellisel juhul on kolmekordne integraal arvutatav valemist b 2 (x) 2 (x,y) f (x, y, z)dxdydz = dx dy f (x, y, z)dz (7.24) V a 1 (x) 1 (x,y)
annaabi.ee 
