2) Ridade vahetamine 3) Ühele reale mingi arvu kordse teise rea liitmine. Vôimalike lahendite arv: 1) Reaalarvulised lahendid puuduvad 2) Lôpmata palju lahendeid 3) Kindel arv lahendeid (konkreetsed arvud vôi konstantidega üldlahend). Lineaarse vôrrandsüsteemi üldlahend: igale muutujale vastab konstante sisaldav avaldis, mis rahuldab süsteemi kôiki vôrrandeid. Nad vôivad olla omavahel avaldiste kaudu seotud. Lineaarse vôrrandsüsteemi erilahend: andes üldlahendi konstantidele väärtusi saab erilahendi. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest. Lineaarse vôrrandsüsteemi maatrikskuju: AX=B; A=(aij), i=1,...,m ja j=1,...,n. X muutujate maatriks; B vabaliikmete maatriks; A kordajate e. süsteemimaatriks. Lineaarse vôrrandsüsteemi lahendamisest maatrikskujul. 8. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga.
Definitsioon Olgu F (x; y ; z) määratud piirkonnas Ω R3. Vahemikus (a; b) määratud funktsiooni y = y (x) nimetatakse võrrandi F (x;y;y’)=0 lahendiks selles vahemikus kui ta on pidevalt diferentseeruv, (x; y(x); y’(x)) ϵ Ω iga x ϵ (a,b) ning F (x; y (x); y’(x))=0 iga xϵ(a,b) Erilahend : Diferentsiaalvõrrandi erilahendiks nimetatakse DV lahendit, mis on saadud üldlahendist konstantidele arvuliste väärtuse andmisel. Esimest järku DV üldlahendist saame erilahendi, kui rahuldame algtingimuse y( x0) = y0 , kus x0 , y0 on etteantud arvud. Kuna n-järku DV üldlahend sisaldab n suvalist konstanti, siis on konstantide määramiseks vaja n algtingimust Tihti esitatakse need kujul : 1. 7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne Cauchy ülesanne esimest järku HDV jaoks: Kus xo,y0 on mingid antud reaalarvud. Lause (Peano teoreem)
Kõigi DV-e lahendamisel saadakse kõigepealt üldlahend, millest siis rajatingimusi (algtingimusi) kasutades leitakse sobiv erilahend. Seega, n-järku DV-il on lõpmata palju lahendeid ja need on esitatavad kujul y = φ(x, C1, C2, . . . , Cn), kus konstandid C1, C2, . . . , Cn omandavad väärtusi teatud vahemikus. Sellist avaldist nimetatakse diferentsiaalvõrrandi üldlahendiks. Iga lahendit, mis saadakse üldlahendist konstantidele arvulisi väärtusi andes, nimetatakse erilahendiks. 40. Eraldatud ja eralduvate muutujatega DV-i lahendamine. DV-t kujul M(x)dx + N(y)dy = 0 nim. eraldatud muutujatega võrrandiks. Sellise võrrandi üldintegraal on ∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑁(𝑦)𝑑𝑦 = 𝐶 41. Eralduvate muutujatega DV klass dy/dx=ky. Näited selle kasutamisest. Sellisel kujul DV kirjeldab eksponentsiaalselt kasvavaid/kahanevaid protsesse N: populatsiooni kasv ajaperioodi vältel. 42
Diferentsiaalvõrrandi Diferentsiaalvõrrandi järguks nimetatakse võrrandis esinevate otsitava järk funktsiooni tuletiste kõrgeimat järku Diferentsiaalvõrrandi Diferentsiaalvõrrandi üldlahendiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandi lahendit, üldlahend mis sisaldab suvalist konstanti C Diferentsiaalvõrrandi Diferentsiaalvõrrandi erilahendiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandi lahendit, erilahend mis on saadud üldlahendist konstantidele arvuliste väärtuste andmisel Cauchy ülesanne Cauchy ülesandeks nimetatakse ülesannet, kus on vaja leida diferentsiaalvõrrandi F(x,y,y',...,y(n))=0 lahend y, mis rahuldab algtingimusi y(x0)=y0, y'(x0)=y1,..., y(n-1)(x0)=yn-1 Lahendi olemasolu ja Olgu f(x,y) ja f'y määratud ja pidevad muutujate x,y piirkonnas D. Siis iga
40. Hariliku diferentsiaalvõrrandi mõiste, järk, üld- ja erilahend. Harilik diferentsiaalvõrrand võrrand, mis seob üht sõltumatut muutujat x funktsiooni y=f(x) ja selle funktsiooni tuletisi või diferentsiaali. Järk võrrandis sisalduvate tuletiste kõrgeim järk. Üldlahend iga niisugune y=f(x), mis rahuldab antud diferentsiaalvõrrandit mistahes konstantide väärtuse korral. Erilahend üldlahendi konstantidele on antud kindlad väärtused. 41. Mõningaid diferentsiaalvõrrandite lahendusvõtteid (eralduvate muutujatega, kõrgemat järku DV). Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandit kujul nim eralduvate muutujatega võrrandiks. 42. Eksponentsiaalse kasvu valem. Eksponentsiaalne kasv on suuruse y suurenemine seose y=a x järgi, kus a>1.
( ) P(A) = Suurte arvude seadus. Katsetame n korda sõltumatult sündmust A. Olgu k(n) ≤ n õnnestunud katsed ja P*(A) ( ) ( ) sündmuse A teoreetiline tõenäosus. Siis ( ) > 0: lim ( | ( )| < ) = 1 Suurtearvude seadus.Juhuslike nähtuste karakteristikute (näiteks keskväärtuse) omadus katsete arvu kasvades läheneda mingitele konstantidele -Tšebõševiteoreem- Bernoulli teoreem 6. Täistõenäosuse ja Bayes’i valemi tuletamine Sündmuse A täistõenäosus: ( ) = ∑ ( | ) ( ). Sündmuste süsteemi H={H1,…,Hn} nimetatakse tingimusteks ehk sündmuste täissüsteemiks, kui 1. i=1,…,n Hi≠0; 2. i,j=1,…,n (i≠j) HiHj=∅; 3. ∑Hi=Ω. Täistõenäosuse valemi tuletamine: P(A) = P(AΩ) = P(A∑Hi) = P(∑AHi) = ∑P(AHi) = ∑[P(A|Hi)P(Hi)] (Korrutuslause: P(A|B) = P(AB)/P(B))
hariliku diferentsiaalvõrrandi lahendiks nimetatakse iga funktsiooni y = f(x), mille asetamisel võrrandisse koos tema tuletisega on tulemuseks samasus. lahend pole ühene, n-järku diferentsiaalvõrrandil on lõpmata palju lahendeid (konstandid). konstante on vastavalt nii palju kui suur on DV järk. üldlahend - iga niisugune y=f(x), mis rahuldab antud diferentsiaalvõrrandit mistahes konstantide väärtuse korral. erilahend üldlahendi konstantidele on antud kindlad väärtused. 38. Mõningaid diferentsiaalvõrrandite lahendusvõtteid (eralduvate muutujatega, kõrgemat järku DV). eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand lahendamisel saab muutujad eraldada, st viia kummagile poole võrdusmärki. kus on teadaolevad ühemuutuja funktsioonid, pidevad vastavalt vahemikes ja . Eksamitöö koosneb neljast punktist: 1) Mõistete ja põhiseoste tundmine. (16p)
x1 = x1 (C1 , C 2 , , C k ) x = x (C , C , , C ) 2 2 1 2 k x n = x n (C1 , C 2 , , C k ) , kus C1, C2 , ..., Ck R. Vabalt valitavate konstantide arv k on määratud tundmatute arvu ja sõltumatute võrrandite arvu vahega. Süsteemi (1) erilahendiks nimetatakse süsteemi lahendit, mis saadakse üldlahendist konstantidele C1, C2 , ..., Ck arvuliste väärtuste andmisel. 6.2. ERIMEETOODID LVS LAHENDAMISEKS 32. LVS lahendamine maatriksvõrrandi kaudu LVS maatriksvõrrandi kuju : AX = B (2) Võrdus (2) esitab maatriksvõrrandit, mille lahend avaldub kujul X = A- 1B, kus det A 0 Näide 1: Lahendada maatriksvõrrandi kaudu LVS 2 x1 - 3 x 2 = 1 4 x1 + x 2 = 9. Lahendus:
x1 = x1 (C1 , C 2 , , C k ) x = x (C , C , , C ) 2 2 1 2 k , x n = x n (C1 , C 2 , , C k ) kus C1, C2 , ..., Ck R. Vabalt valitavate konstantide arv k on määratud tundmatute arvu ja sõltumatute võrrandite arvu vahega. Süsteemi (1) erilahendiks nimetatakse süsteemi lahendit, mis saadakse üldlahendist konstantidele C1, C2 , ..., Ck arvuliste väärtuste andmisel. 6.2. ERIMEETOODID LVS LAHENDAMISEKS 1. LVS lahendamine maatriksvõrrandi kaudu LVS maatriksvõrrandi kuju : AX = B (2) Võrdus (2) esitab maatriksvõrrandit, mille lahend avaldub kujul X = A- 1B, kus det A 0 Näide 1: Lahendada maatriksvõrrandi kaudu LVS 2 x1 - 3 x 2 = 1 4 x1 + x 2 = 9. Lahendus:
annaabi.ee 
