Olgu funktsioon f(x,y) pidev piirkonnas D. Vaatleme avaldist f ( x, y )dy dx , a 1 ( x ) mida nimetame funktsiooni f(x,y) kaksikintegraaliks üle piirkonna D. Teoreem: Pideva funktsiooni f(x,y) kahekordne integraal üle regulaarse piirkonna D võrdub selle funktsiooni kaksikintegraaliga üle sama piirkonna D (eeldame, et piirkond D on piiratud joontega y = 1 x , y = 2 x , x=a ja x=b) s.t. b 2 ( x) f ( x, y )dy dx .Tõestus. Jaotame piirkonna D koordinaat D f ( x , y ) dxdy = a ( x ) 1
D 5) Olgu m ja M vastavalt (x,y), vähim ja suurim väärtus piirkonnas D.Siis kehtivad seosed mS = m dS (P)dS M dS = MS D D D 6) Keskväärtusteoreem: Piirkonnas D leidub vähemalt üks punkt A nii, ett kehtib võrdlus (P)dS= (A) dS = (A)S D D 4. Kahekordse integraali teisendamine kaksikintegraaliks ristkülikukujulise piirkonna korral. Tuletada vastav valem. (lk 4-7) 5. Telgede suhtes regulaarsed piirkonnad. Piirkond D on koordinaattelje suhtes regulaarne kui ta on regulaarne nii x-telje kui ka y-telje suhtes. (NB! kirjutan ainult y- telje suhtes sest, x-telje suhtes on regulaarsus analoogne) Piirkonda D nim. regulaarseks y-telje suhtes, kui iga sirge, mis on paraleelne y-teljega, lõikab piirkonna D rajajoont maksimaalselt kahes punktis
arvutamine kaksikintegraali abi. Piirkonda D xy-tasandil nimetatakse regulaarseks, kui tema raja koosneb lõpilkust arvust pidevatest joontest tüüpi y=(x) või x=(y). Regulaarset piirkonda D = {(x; y) | (a x b) ((x) y (x))} kus funktsioonid (x) ja (x) on mingid pidevad funktsioonid lõigul [a;b] nimetatakse normaalseks piirkonnaks xy-tasandil (x-telje suhtes) Olgu funktsioon f(x,y) pidev piirkonnas D. Vaatleme avaldist , mida nimetame funktsiooni f(x,y) kaksikintegraaliks üle piirkonna D. Selles avaldises arvutatakse esmalt sulgudes olev integraal, kusjuures y on integreerimismuutujaks, x aga loetakse konstantseks. Integreerides saadakse argumendi x pidev funktsioon: . Seda funktsiooni integreerime x järgi rajast a kuni rajani b: . Tulemuseks saame mingi arvu. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abil: Pideva funktsiooni f(x,y) kahekordne integraal üle regulaarse piirkonna D võrdub selle
pidevatest joontest tüüpi y=φ(x) või x=ψ(y). Regulaarset piirkonda D = {(x; y) | (a ≤ x ≤ b) ᴧ (φ(x) ≤ y ≤ ψ(x))} kus funktsioonid φ(x) ja ψ(x) on mingid pidevad funktsioonid lõigul [a;b] nimetatakse normaalseks piirkonnaks xy-tasandil (x-telje suhtes) Olgu funktsioon f(x,y) pidev piirkonnas D. Vaatleme avaldist , mida nimetame funktsiooni f(x,y) kaksikintegraaliks üle piirkonna D. Selles avaldises arvutatakse esmalt sulgudes olev integraal, kusjuures y on integreerimismuutujaks, x aga loetakse konstantseks. Integreerides saadakse argumendi x pidev funktsioon: . Seda funktsiooni integreerime x järgi rajast a kuni rajani b: . Tulemuseks saame mingi arvu. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abil: Pideva funktsiooni f(x,y) kahekordne integraal üle regulaarse piirkonna D võrdub selle
Niisugust piirkonda nim. regulaarseks y-telje sihis. Analoogiliselt saab defineerida piirkonda, mis on regulaarne x-telje sihis. Piirkonda, mis on regulaarne nii x-telje kui ka y-telje sihis, nim. regulaarseks piirkonnaks. Olgu funktsioon z=f(x,y) pidev piirkonnas D. Avaldist nim. funktsiooni z=f(x,y) kaksikintegraaliks üle piirkonna D. Kaksikintegraali tõkked (omadus 19.2). Olgu funktsiooni z=f(x,y) vähim ja suurim väärtus piirkonnas D vastavalt m ja M. Tähistame piirkonna D pindala tähega S, siis kehtib seos: Keskväärtuste teoreem (omadus 19.3). Pideva funktsiooni z=f(x,y) kaksikintegraal ID üle piirkonna D, mille pindala on S, võrdub korrutisega, mille üheks teguriks on pindala S ja teiseks funktsiooni z=d(x,y) väärtus piirkonna D teatud punktis P: 3
võrrandiks y = 1 ( x) , ja pealt piiratud joonega, mille võrrandiks on y = 2 ( x) , st kui b 2 ( x ) D x = [a, b ], 1 ( x) < 2 ( x), a < x < b , siis f ( x, y)dxdy = dx f ( x, y)dy . D a 1( X ) 4 Võrduse paremal pool asuvat avaldist nim kaksikintegraaliks. Ta kujutab endast süsteemi kahest määratud integraalist. Tema arvutamist alustatakse sisemisest integraalist, leides integraali muujuta y järgi. Selle integraali arvutamise käigus käitub muutuja x konstandina. Kuna sisemise integraali rajadeks on üldiselt x-i funktsioonid, saadakse tulemuseks mingi x-i funktsioon, mida seejärel integreeritakse muutuja x järgi konstantsetes rajades a, b. 2)kui integreerimis piirkond on regulaarne x-telje sihis ning piiratud vasakult joonega, mille
Olgu piirkond D joontrapets mis on piiratud joontega y 1 x ,y 2 x ,x a, x b, kus 1 x 2 x ,x a, b . Sealjuures 1 ja 2 on lõigul a, b pidevad funktsioonid. Siis integraali b 2 x b 2 x ID dx f x, y dy f x, y dy dx a 1 x a 1 x nimetatakse funktsiooni f kaksikintegraaliks. See võrdus ütleb, et kaksikintegraali arvutamine toimub kahe määratud integraali arvutamise teel. Sisemises integraalis 2 x f x, y dy x 1 x vaadeldakse muutujat x konstandina ja arvutataks see integraal kui x:i funktsioon x. Seejärel arvutatakse juba integraal b ID x dx.
3 y (x ) y = 2 D y = 1 (x) a b x Joonis 7.1. y-telje sihis regulaarne piirkond nimetatakse funktsiooni f (x, y) kaksikintegraaliks u ¨le piirkonna D. Kaksikin- tegraali arvutamine seisneb kahe j¨arjestikuse m¨a¨aratud integraali arvutami- ses. Esiteks arvutatakse nn seesmine integraal 2 (x) (x) = f (x, y)dy. 1 (x) Siin on integreerimismuutujaks y ja muutujat x vaadeldakse integreeerimisel konstandina
annaabi.ee 
