vutamiseks ligikaudseid meetodeid. Vaatleme k¨aesolevas punktis neist u ¨hte, nn trapetsvalemit. Trapetsvalemi tuletamiseks jaotame integreerimisl~oigu [a; b] n v~ordse pik- ¨ osal~oigu pikkus on sellisel juhul h = b - a . T¨ahistame kusega osal~oiguks. Uhe n jaotuspunktid x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, ..., xk = a + kh, ..., xn = a + nh = b ja arvutame nendes jaotuspunktides funktsiooni v¨a¨artused y0 = f (x0 ), y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ), ..., yk = f (xk ), ..., yn = f (xn ). Vertikaalsed sirged x = xk , k = 1, 2, ..., n - 1 jaotavad k~overtrapetsi ¨ abBA n k~overtrapetsiks P QRS. Uhendame punktid R ja S sirgega, mille tu- lemusena tekib trapets P QRS, mille aluste P S ja QR pikkused on vastavalt yk-1 ja yk ning k~orguseks u ¨he osal~oigu pikkus h. Selle trapetsi pindala
3 3 3 3 . 1.3. Määratud integraali mõiste Arvutame kõverjoonse trapetsi abBA pindala teisel teel. a, b x1 , x2 , , xn Jaotame lõigu n-osalõiguks. Osalõikude pikkused tähistame . Jaotuspunktides joonestame ordinaadid, mis jaotavad trapetsi n väiksemaks kõverjoonseks trapetsiks. xi 1, xi i Valime igal osalõigul vabalt ühe punkti . 1 , 2 , , n Saame . Kujundame igale osalõigule ristküliku, mille kõrguseks on graafiku ordinaat valitud punktis
Üks algfunktsioon funktsioonile y = x 2 on F ( x ) = x 3 3 Valemi (3) kohaselt on pindala 1 3 1 2 S = F (1) - F ( - 1) = 1 - ( - 1) = 3 3 3 3 MÄÄRATUD INTEGRAALI MÕISTE Arvutame trapetsi abBA pindala teisel teel. Jaotame lõigu [a, b ] n osalõiguks. Osalõikude pikkused tähistame x1 , x2 , , xn Jaotuspunktides joonestame ordinaadid, mis jaotavad trapetsi n väiksemaks kõverjoonseks trapetsiks. Valime igal osalõigul [ xi -1 , xi ] vabalt ühe punkti i Saame 1 , 2 , , n Kujundame igale osalõigule ristküliku, mille kõrguseks on graafiku ordinaat valitud punktis vastavalt f ( 1 ) , f ( 2 ) , , f ( n ) Nende ristkülikute pindalad on f (1 ) x1 , f (2 ) x2 , , f (n ) xn . Kõigi niisuguste ristkülikute pindalade summa annab arvutatava pindala ligikaudse väärtuse
Üks algfunktsioon funktsioonile y = x 2 on F ( x ) = x 3 3 Valemi (3) kohaselt on pindala 1 3 1 2 S = F (1) - F ( - 1) = 1 - ( - 1) = 3 3 3 3 MÄÄRATUD INTEGRAALI MÕISTE Arvutame kõverjoonse trapetsi abBA pindala teisel teel. Jaotame lõigu [a, b ] n osalõiguks. Osalõikude pikkused tähistame x1 , x2 , , xn Jaotuspunktides joonestame ordinaadid, mis jaotavad trapetsi n väiksemaks kõverjoonseks trapetsiks. Valime igal osalõigul [ xi -1 , xi ] vabalt ühe punkti i Saame 1 , 2 , , n Kujundame igale osalõigule ristküliku, mille kõrguseks on graafiku ordinaat valitud punktis vastavalt f ( 1 ) , f ( 2 ) , , f ( n ) Nende ristkülikute pindalad on f (1 ) x1 , f (2 ) x2 , , f (n ) xn . Kõigi niisuguste ristkülikute pindalade summa annab arvutatava pindala ligikaudse väärtuse
vutamiseks ligikaudseid meetodeid. Vaatleme k¨aesolevas punktis neist u ¨hte, nn trapetsvalemit. Trapetsvalemi tuletamiseks jaotame integreerimisl~oigu [a; b] n v~ordse pik- ¨ osal~oigu pikkus on sellisel juhul h = b - a . T¨ahistame kusega osal~oiguks. Uhe n jaotuspunktid x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, ..., xk = a + kh, ..., xn = a + nh = b ja arvutame nendes jaotuspunktides funktsiooni v¨a¨artused y0 = f (x0 ), y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ), ..., yk = f (xk ), ..., yn = f (xn ). Vertikaalsed sirged x = xk , k = 1, 2, ..., n - 1 jaotavad k~overtrapetsi ¨ abBA n k~overtrapetsiks P QRS. Uhendame punktid R ja S sirgega, mille tu- lemusena tekib trapets P QRS, mille aluste P S ja QR pikkused on vastavalt yk-1 ja yk ning k~orguseks u ¨he osal~oigu pikkus h. Selle trapetsi pindala
(veenduda!)z. Seega saab fikseerida a ja b nii, et f (a) ja f (b) on erimärgilised. Teoreemi 3.11 põhjal on vaadeldaval võrrandil olemas lahend. Näide 3.4. Vaatleme võrrandit f (x) := x4 − x − 1 = 0 ja paneme tähele, et f (1) = −1 ning f (2) = 13. Teoreemi 3.11 põhjal on sel võrrandil vahe- mikus (1, 2) vähemalt üks lahend. Jagame lõigu [1, 2] kümneks võrdseks osaks ja arvutame funktsiooni väärtuse neis jaotuspunktides: f (1,1) = −0,63 . . . ; f (1,2) = −0,12 . . . ; f (1,3) = 0,55 . . . . Seega peab üks lahend paiknema arvude 1,2 ja 1,3 vahel. Jagame nendevahelise lõigu küm- neks võrdseks osaks, ning otsime üles osalõigu, mille otspunktides on funktsioonil f erimär- gilised väärtused: f (1,22) = −0,004 . . . ; f (1,23) = 0,058 . . . . Tähendab, üks lahend paikneb arvude 1,22 ja 1,23 vahel. Me võime fikseerida ligikaudse lahendi täpsusega 0,01
annaabi.ee 
